Mer potensregning

[javelja]

Sitter med følgende oppgavesett:

Regn ut uten bruk av hjelpemidler.

a) [tex]\frac{3^{12}-3^{10}}{3^{11}+3^{10}}[/tex]

b) [tex]\frac{8*(5^{13}+5^{12})}{5^{12}-5^{11}}[/tex]

c) Vis at [tex]3^{n}+ 3^{n+1}=4*3^n[/tex]

Har prøvd meg frem med litt ulike metoder, men er ganske sikker på at samtlige er feil. F.eks.:

[tex]\frac{3^{12}-3^{10}}{3^{11}+3^{10}}[/tex]

[tex]3^{12-11}-3^{10-10}[/tex]

[tex]3^1-3^0[/tex]

[tex]3-1=2[/tex]

Får riktig svar når jeg sjekker fasiten, men hele fremgangsmåten føles veldig feil. Dessuten får jeg det ikke til å fungere på noen av de andre deloppgavene. Tips?

På forhånd takk for hjelpen, håper solen skinner like mye der dere er som den gjør i Bergen denne ettermiddagen.

[Nebuchadnezzar]

Regner og jeg har blitt frastjelt nøkler og lommebok, ikke en like fin dag.

Angående første oppgave så er det du gjør komplett og fullstendig ulovlig. Bare prøv med litt andre tall, så ser du at det ikke henger på grep.

Det som er lurt her er å legge merke til at

[tex]3^{12} - 3^{10} \ = \ 3^{10+2} - 3^{10} \ = \ 3^{10}3^2 - 3^{10} \ = \ 3^{10}\left( 3^2 - 1 \right)[/tex]

og samme metode kan brukes på nevneren. Da kan du stryke og faktorisere en del like ledd =)

[javelja]

Ja, selvfølgelig. Takk!

Håper det ordner seg med lommebok/nøkler.

[javelja]

Her er utregningene sålangt:

Oppgave a)

[tex]\frac{3^{12}-3^{10}}{3^{11}+3^{10}}[/tex]

[tex]\frac{3^{10}*3^{2}-3^{10}}{3^{10}*3^1+3^{10}}[/tex]

[tex]\frac{3^{10}(3^{2}-1)}{3^{10}(3+1)}[/tex]

[tex]\frac{(3^{2}-1)}{(3+1)}[/tex]

[tex]\frac84=2[/tex]

Oppgave b)

[tex]\frac{8*(5^{13}+5^{12})}{5^{12}-5^{11}}[/tex]

[tex]\frac{8*(5^{11}*5^{2}+5^{11}*5^{1})}{5^{11}*5^{1}-5^{11}}[/tex]

[tex]\frac{8*(5^{11}(5^{2}+5))}{5^{11}(5-1)}[/tex]

[tex]\frac{8*(25+5)}{(5-1)}[/tex]

[tex]\frac{260}4=60[/tex]

MEN, så var det oppgave c) da...

Vis at [tex]3^n+3^{n+1}=4*3^n[/tex]

Her sitter jeg fast. Det er spesielt [tex]3^{n+1}[/tex] som skaper problemer for meg her.

Tenker umiddelbart at

[tex]3^n+3^{n+1}=3^n+(3^n*3)[/tex]

Så stopper det opp. Tenkte at jeg kunne sette 3eren utenfor, slik

[tex]3(1^n+(1^n*1))[/tex] som egentlig gir [tex]3(1^n+1^n)[/tex] som er [tex]3(2*1^n)[/tex].

Svaret blir da [tex]6*3^n[/tex] som selvsagt er feil. Hvor trår jeg feil?

Takk!

[Nebuchadnezzar]

Det er nok ulike måter å tenke her på ja

Når du har

[tex]3 \cdot 3^n \, + \, 3^n \, = \, 4 \cdot 3^n[/tex]

Så er du egentlig ferdig. Fordi du har [tex]3[/tex] av noe også legger du til en, og da får du åpenbart [tex]4[/tex].

For [tex]3^n[/tex] er jo bare en størrelse, eller en andel og kunne like gjerne hatt navnet u. Bytter vi ut [tex]3^n[/tex] med [tex]u[/tex] står det jo

[tex]3 \cdot u \, + \, u \, = \, 4 \cdot u[/tex]

Alternativt så stemmer det du og sier, bare husk på at [tex]1^n = 1[/tex]
for alle [tex]n > 1[/tex]

Og det er vel greiere å sette [tex]3^n[/tex] utenfor parentesen, da da

[tex]3^n \neq 3 \cdot 1^n[/tex]