Sannsynlighet og uendelighet

[Eksplisitt]

Dette er kanskje et litt tullete spørsmål, men jeg prøver likevel.

Ole tenker på et tilfeldig tall mellom 0 og ∞. Han ber Knut gjette én gang hvilket tall han tenker på. Hva er sannsynligheten for at han tipper riktig?

Går det an å snakke om dette på en meningsfylt måte?

[Nebuchadnezzar]

Sannsynligheten er null I mine øyne.

[prasa93]

Enig med taleren over. Om man har uendelig med muligheter, blir følgelig ganske logisk null.

[Eksplisitt]

Sannsynlighet = 0 impliserer vel vanligvis at noe er umulig? Er det umulig å tippe riktig?

[Aleks855]

Jeg er ingen lærd mann på akkurat dette, men jeg ser for meg at siden [symbol:uendelig] er en grenseverdi og ikke et tall, så er sannsynligheten minimal, men eksisterende.

Hvis Ole tenker 10, så finnes det en reell mulighet for at Knut kan gjette det tallet.

[svinepels]

Ser ikke helt hvordan man kan definere en uniform sannsynlighetsfunksjon på et uendelig utfallsrom. Da må vi jo kreve at summen av sannsynligheten for alle utfallene er 1, samtidig som at sannsynligheten for hvert utfall er lik. Det blir altså en uendelig rekke

[tex]\sum_{i=0}^\infty k[/tex]

der k er en konstant. Hvis k = 0, vil summen bli lik 0. Hvis k > 0, blir summen uendelig.

Intuitivt sett ville jeg likevel sagt at sannsynligheten er 0.

[Per Spelemann]

Er det i det hele tatt mulig for Ole å tenke på et helt tilfeldig tall fra null og oppover?

[Nebuchadnezzar]

Nei, men det var heller ikke spørsmålet :p

[Aleks855]

Tror ikke jeg er helt med på hvorfor det ikke går an.

På en måte så er jeg enig, dog. Fordi hvis man skal tenke på et vilkårlig tall fra 1 til n så må det være n tall å velge mellom. Men hvis n er lik uendelig så finnes ikke den tallrekka man kan velge fra.

Men samtidig, kan n virkelig være lik uendelig? I min forståelse så er uendelig bare en grenseverdi, og ikke en verdi.

Mine 2 cent. Utdyp gjerne. Jeg er litt fascinert av uendelighetskonseptet generelt =)

[Per Spelemann]

En praktisk måte å se det på: Ole vil ha ei øvre grense for hvor store konkrete tall han greier å tenke på.

[Masamune]

Denne oppgaven gir ikke helt mening. Problemet her er ikke at man har uendelig mange utfall, men at man ønsker at sannsynlighetsfordelinga skal være uniform. Man trenger en fordeling der
[tex] \sum_n p_n = 1[/tex]

I det kontinuerlige tilfellet kan man for eksempel se på uniform fordeling på intervallet [tex][0, 1][/tex]. Da kan man f. eks. spørre om sannsynligheten for at tallet man trekker er et rasjonalt tall(svaret er forresten 0, men dette krever målteori).

Forresten så betyr ikke sannsynlighet 0 at det ikke kan skje. Sannsynlighet 1 betyr ikke at det garantert skjer. Dette krever dessverre målteori.

[wingeer]

Denne oppgaven gir ikke helt mening. Problemet her er ikke at man har uendelig mange utfall, men at man ønsker at sannsynlighetsfordelinga skal være uniform. Man trenger en fordeling der
[tex] \sum_n p_n = 1[/tex]

I det kontinuerlige tilfellet kan man for eksempel se på uniform fordeling på intervallet [tex][0, 1][/tex]. Da kan man f. eks. spørre om sannsynligheten for at tallet man trekker er et rasjonalt tall(svaret er forresten 0, men dette krever målteori).

Forresten så betyr ikke sannsynlighet 0 at det ikke kan skje. Sannsynlighet 1 betyr ikke at det garantert skjer. Dette krever dessverre målteori.

Men utdyp gjerne. For de av oss som er interessert (meg?).

[Per Spelemann]

Interessant.

Har jeg skjønt følgende riktig:

La oss si at vi trekker t fra intervallet [0, 1].
Sannsynligheten for å trekke t var 0, men det har faktisk skjedd.
Sannsynligheten for ikke å trekke t var 1, man skjedde faktisk ikke.

Men jeg føler vi er litt etterpåkloke her. Hvordan vil det være dersom vi skal kontrollere mot ett forhåndsbestemt utfall (f.eks. å trekke et rasjonalt tall)?

[NiclasHellesenL]

klarer ikke tro at sansyneligheter fins

kaster man et papirfly, er det fysikkens lover og regler som bestemmer hvor flyet evnt havner, ettersom omgivelsene med vind og vær.

finns sansynelighet?

[Masamune]

Hvis du ser på [tex][0, 1][/tex], og fikserer en [tex]t \in [0, 1][/tex], så vil sannsynligheten for at tallet du trekker er lik [tex]t[/tex] være 0. Så sannsynligheten for at du ikke trekker det er lik 1. Sannsynligheten for at du vil trekke et rasjonalt tall er også 0. Her har vi kontrollert mot et forhåndsbestemt tall.

Kan prøve å forklare litt mer om hvordan man finner ut dette. At sannsynligheten for at tallet man trekker er mellom 0 og en halv, er lik en halv, slik som vi forventer. Sannsynligheten for at tallet man trekker havner i et gitt intervall, er lik lengden på intervallet. Så hva er lengden til de rasjonale tall? Her må man trekke inn målteori. Mål er en generalisering av lengde, så målet av et intervall er lengden. Sannsynlighetsmodellen er slik at sannsynligheten for at tallet man trekker havner i en viss mengde, er lik målet av mengden. Det viser seg at målet til de rasjonale tall er lik 0, mens målet av de irrasjonale er lik 1 (vi er fortsatt i [tex][0, 1][/tex]. Det kan være overraskende at det er så få rasjonale tall, men dette kan vises skikkelig.
Her er noen wikipedia-artikler man kan lese, men det er litt å sette seg inn i:
http://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_1