Side 1 av 1
Kontinuerlige funksjoner
Lagt inn: 15/03-2012 20:05
av Knossos
Hei, undrer litt over en liten oppgave her. Skal finne grenseverdien for en funksjon f(x)= (x^2 + 4x)/(x^3 + 2x) når x går mot 0.
Siden nevneren da blir null, så kan jeg ikke sette inn direkte i uttrykket, men finne dette ved hjelp av grensesetningene!(?)
lim (tjo-og-hei) og ender opp med et rotete uttrykk med masse nuller. Hva gjør jeg så? Kan jeg evt stryke lim mot lim over og under brøkstrek så jeg står igjen med 4/2? (ren gjetting da fasiten er 2)
Er ikke helt inne på denne operasjonen på slutten her.
Lagt inn: 15/03-2012 20:11
av Janhaa
[tex]\frac{x(x + 4)}{x(x^2+2)}[/tex]
forkort og la x -> 0, da får du 2
Lagt inn: 15/03-2012 20:27
av Knossos
Ok, takk.
Men er dette spesielt fordi både teller og nevner blir null? Eller gjelder denne forkortingen generelt også?
Lagt inn: 15/03-2012 21:27
av Nebuchadnezzar
Denne forkortingen gjelder alltid, men husk å være litt obs.
Prøv for eksempel å tegne
[tex]g(x) = \frac{x^2}{x} + 1[/tex] og [tex]f(x) = x + 1[/tex]
Disse ser rimelig like ut, men de er faktisk forskjellige!
Forskjellen er at [tex]g[/tex] ikke er definert i [tex]0[/tex]. Siden da er teller null.
Men selv em en funksjon ikke er definert i et punkt, så kan likevel grenseverdien eksistere. [tex]\lim_{x \to 0} g(x) = 0[/tex].
Blir som at det er mulig å gå nærmere og nærmere et hull, men at du ikke kan stå i hullet.
Så lenge hullet har samme verdi uansett hvordan du beveger deg mot det, så eksisterer grensen.
for eksempel så eksisterer ikke grensen
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex]
Dersom vi går mot 0 fra høyre side, vokser funksjonen over alle støvleskaft.
Derimot om vi går mot funksjonen fra venstre side, synker verdien under alle støvleskaft.
Dermed er ikke funksjonen definert i punktet, ei heller eksisterer grenseverdien.
Vi kan også ha noen spesielle tilfeller der grenseverdien ikke eksisterer, men at funksjonen har en bestemt verdi i punktet. Eksempelvis
[tex]f(x) = \left{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^3} & \text{dersom} \qquad x \, \neq \, 0 \\ 0 & \text{dersom} \qquad x \, = \, 0 \end{array} \right. [/tex]