Regne ut topp- og bunnpunkt på sinusfunksjon

[mistermath]

Sitter å forbereder meg til privatisteksamen i R2 nå i juni, men sliter litt med prinsippene på utregning av topp- og bunnpunkt. Har skjønt det sånn at jeg må ta utgangspunkt i den deriverte, men der strander jeg.

f(x) = 4 sin(1,5x+0,8)+2 x£r

Er ikke kjempestødig på derivering, men vi prøver:

f(x)' = 4*cos u * u' = 4*cos u*1,5 = 6cos(1,5x+0,8)

Vi skal så ta utgangspunkt i f(x)'= 0

6cos(1,5x+0,8) = 0

Hva gjør jeg herfra? Jeg vet at jeg må få et eller annet tall over på høyresiden (s), for så å dele på 6. Deretter cos^-1 for å få cos bort fra venstresiden.


Deretter står jeg igjen med 1,5x+0,8= cos^1s/6

Setter inn 2pi*k, flytter over 0,8. Til slutt må jeg dele på 1,5 for å få x alene.

Men hvilket tall er det jeg tar utgangspunkt i, og setter inn som s?




[/quote]

[mistermath]

...og x setter så inn x i f(x) for å regne ut y-koordinaten...

Når jeg har funnet toppunkt, hvordan finner jeg bunnpunkt?

[moth]

Du har tenkt stort sett riktig, men jeg skjønner ikke hvorfor du blander inn s. Grunnen til at du finner topp/bunn-punkt på denne måten er jo fordi at i et slikt punkt vil tangenten være horisontal og det skjer kun når stigningstallet til linjen er 0. Og som du sikkert vet er stigningstallet lik den deriverte så dermed er f'=0 i alle topp/bunn-punkt.

Du har f'=6cos(1.5x+0.8)=0. Istedenfor å innføre en ny variabel s så kan du bare bruke det slik det står. Del på 6, det gir cos(1.5x+0.8)=0, finn cos[sup]-1[/sup]0 og sett det lik 1.5x+0.8. Etter det er det rein plankekjøring.

For å sjekke om det er topp eller bunnpunkt setter du inn verdiene du finner i den opprinnelige ligningen og sjekker hvilke y-verdier du får. Husk og å sjekke endepunktene siden det kan være topp/bunn-punktene er der, men i dette tilfellet er det jo ingen endepunkter. Men viktig å huske på.

[mistermath]

Aah, selvfølgelgi! Ja, glem den nye variabelen min, nå skjønner jeg. cos^0 er jo 1,57 (0,5pi), at jeg ikke tenkte på det!

Tusen takk skal du ha

[Arctagon]

(Jeg skrev denne posten før trådstarter svarte, men glemte å poste den. Tenkte jeg likevel kan poste den som litt tilleggsinformasjon.)

I notatboka mi, laget jeg meg en oversikt over dette da jeg hadde R1.

[tex]f(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{nullpunkter (der f krysser x-aksen)}[/tex]

[tex]f^\prime(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{gir kandidater til stasjonaere punkter, avgjoeres ved fortegnsskjema for} f^\prime[/tex]

[tex]f^{\prime\prime}(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{vendepunktkandidater, avgjoeres ved fortegnsskjema for} f^{\prime\prime}[/tex]

Ettersom det er stasjonære punkter du er ute etter, må du sette [tex]f^\prime(x) = 0[/tex]. For å kunne gjøre det, må du først finne [tex]f^\prime(x)[/tex], noe du har gjort helt fint.

[tex]f^\prime(x) = 6\cos(1.5x + 0.8)[/tex]


Setter [tex]f^\prime(x) = 0[/tex].


[tex]6\cos(1.5x + 0.8) = 0[/tex]

[tex]\frac{\cancel{6}\cos(1.5x + 0.8)}{\cancel{6}} = \frac{0}{6}[/tex]

[tex]1.5x + 0.8 = \cos^{-1}(0)[/tex]

[tex]1.5x = \frac{\pi}{2} - 0.8[/tex]

[tex]\frac{\cancel{1.5}x}{\cancel{1.5}} = \frac{\frac{\pi}{2} - 0.8}{1.5}[/tex]

[tex]\underline{x = \frac{\pi - 1.6}{3}}[/tex] (x-koordinaten til første toppunkt med positiv x-koordinat.)


La x[sub]2[/sub] være x-koordinaten til første bunnpunkt med positiv x-koordinat.

[tex]x_2 = \frac{\pi - 1.6}{3} + \frac{p}{2}[/tex], der p er perioden.

[tex]x_2 = \frac{\pi - 1.6}{3} + \frac{2\pi}{3}[/tex]

[tex]\underline{x_2 = \frac{3\pi - 1.6}{3}}[/tex]


Første toppunkt på den positive delen av x-aksen:

[tex]f(x) = 4sin(1.5x + 0.8) + 2[/tex]

[tex]f \left(\frac{\pi - 1.6}{3} \right) = 4sin(1.5 \left(\frac{\pi - 1.6}{3} \right) + 0.8) + 2 = \underline 6 \qquad \rightarrow \qquad \underline{\left(\frac{\pi - 1.6}{3} \, , \, 6 \right)}[/tex]


Første bunnpunkt på den positive delen av x-aksen:

[tex]f(x_2) = 4sin(1.5x_2 + 0.8) + 2[/tex]

[tex]f \left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \right) = 4sin(1.5 \left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \right) + 0.8) + 2 = \underline{-2} \qquad \rightarrow \qquad \underline{\left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \, , \, -2 \right)}[/tex]


[tex]\underline{\underline{x = \frac{\pi - 1.6}{3} + n \cdot \frac{4\pi}{3} \qquad \mathrm{v} \qquad \frac{3\pi - 1.6}{3} + n \cdot \frac{4\pi}{3} \qquad , \qquad n \in \mathbb{Z}}}[/tex]