Geometrisk rekke. Variabel kvotient. Dobbeltulikheten.

[Conanparker]

Oppgave
En uendelig rekke er gitt ved

cos 2X + 2sin[sup]2[/sup]X* cos 2X + 4sin[sup]4[/sup]X* cos 2X + 8sin[sup]6[/sup]X* cos 2X + .......

der x element i [0, 2 [symbol:pi] ].

For hvilke x konvergerer rekken?

Uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient.

k=2sin[sup]2[/sup]X

(1) Rekka konvergerer når

-1<k<1 dvs -1<2sin[sup]2[/sup]X<1

-1/2<2sin[sup]2[/sup]X<1/2

(2) Denne rekka konvergere når:

- [symbol:rot] 1/2<sinX< [symbol:rot] 1/2

eller omskrevet - [symbol:rot] 2/2<sinX< [symbol:rot] 2/2

Det jeg har problemer med her er å se utregningen av dobbeltulikheten fra (1) til (2).
Å ta roten i alle ledd gir ingen reelle løsninger for -1/2 og høyre del av dobbeltulikheten sin[sup]2[/sup]X<1/2 vil gi sinX<1/2 og sinX<-1/2 (tror jeg, og det blir ikke riktig).

Å løse (2) videre og finne v-verdiene for konvergens er greit, det er ulikheten jeg sliter med å forstå.

Det er flere slike oppgaver med variabel kvotient hvor jeg har problemer med å forstå dobbeltulikhetene. Det virker ikke som de bruker vanlige regler for ulikheter/likninger, men det må man jo?

Noen som kan hjelpe?

[Vektormannen]

Velkommen til forumet

Når du har med dobbeltulikheter å gjøre så kan det være lurt å ha i bakhodet at [tex]a < b < c \ \Leftrightarrow \ a < b \ \wedge \ b < c[/tex]. Vi kan altså behandle ulikheten som to ulikheter:

[tex]-\frac{1}{2} < \sin^2 x < \frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ -\frac{1}{2} < \sin^2 x \ \wedge \ \sin^2 x < \frac{1}{2}[/tex].

Den første ulikheten har alle [tex]x[/tex] som løsning, ikke sant? Uansett hva [tex]x[/tex] er så vil jo [tex]sin^2 x[/tex] være et positivt tall, altså større enn det negative tallet [tex]-\frac{1}{2}[/tex]. Dermed er det den andre ulikheten som legger begrensningene på [tex]x[/tex], og det er den vi må se videre på:

[tex]\sin^2 x < \frac{1}{2}[/tex]

[tex]|\sin x| < \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

Da må

[tex]-\frac{\sqrt 2}{2} < \sin x < \frac{\sqrt 2}{2}[/tex].

Hvis du ikke er kjent med absoluttverdier så kan du gå rett til den siste linjen. Det er jo slik at hvis du har at [tex]a^2 < b[/tex] så må enten [tex]a < b[/tex] og [tex]a > -b[/tex], altså [tex]-b < a < b[/tex], ikke sant?

[Conanparker]

Hei
Ja, det virker logisk. Takk for svar.

Når man løser sin[sup]2[/sup]X<1/2, er det slik at det blir
sinX<+/-1/2 (bruker roten) og videre at absoluttverdien av sinx da har tallverdien 1/2?

Ny oppgave (bruker et enkelte eksempel):
Vi har den uendelige geometriske rekka

X[sup]2[/sup] + X[sup]4[/sup] + X[sup]6[/sup] +.....

k=X[sup]2[/sup]

-1<X[sup]2[/sup]<-1

-1<X[sup]2[/sup] for alle verdier av X

Betrakter videre X[sup]2[/sup]<1 (a[sup]2[/sup]<b)
absoluttverdien X<1 (da må X<1 og X>-1).

Blir dette riktig?

Hva når a[sup]2[/sup]>b?

[Vektormannen]

Det er ikke helt slik nei. I ligningen [tex]x^2 = k^2[/tex] så kan du ta kvadratrot på begge sider, og da vet man at både den positive og negative roten er løsninger, så [tex]x = \pm k[/tex]. I en ulikhet kan vi ikke gjøre dette. Det er ikke slik at hvis [tex]x^2 < k^2[/tex] så er [tex]x < -k[/tex]. Når du opphøyer i andre så forsvinner jo det negative fortegnet, og du står igjen med [tex]k^2[/tex]. Da kan ikke x være mindre enn -k, for da vil jo [tex]x^2 > k^2[/tex]. Ser du at det er slik? (Eksempel: Hvis [tex]x^2 < 9[/tex] så kan ikke [tex]x < -3[/tex]. F.eks. vil [tex]x = -4[/tex] gi [tex]x^2 = 16 > 9[/tex].) Du kan også overbevise deg selv om det ved å skrive om ulikheten til [tex]x^2 - k^2 < 0 \ \Rightarrow \ (x-k)(x+k) < 0[/tex]. Lager du et fortegnsskjema her vil du se det samme.

På den neste har du tenkt riktig ja.

[Conanparker]

Flott, nå ble det klarere.
Det blir jo selvfølgelig en forskjell på å betrakte a[sup]2[/sup]<b og a[sup]2[/sup]=b.

Det at man kan faktorisere og sette i fortegnsskjema gjorde det også lettere å bli overbevist.

Takk for rask tilbakemelding.