ekstremalpunkter

[Mannebein]

Heisann!
Sitter litt fast følgende oppgave:
Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter for f(x). Klassifiser i topp- og/eller bunnpunkt.
Funksjonen er gidtt ved f(x)= x^4-32x+3. Jeg har gjort som jeg pleier ved andregradsfunksjoner; f'(x)= -> 4x^3-32. Men herfra står jeg fast for å komme videre.

Kan noen hjelpe meg videre?

På forhånd takk!:)

[Vektormannen]

Ekstremalpunktene forekommer når den deriverte er 0. Da får du ligningen [tex]4x^3 - 32 = 0 \ \Leftrightarrow \ x^3 = \frac{32}{4} = 8[/tex]. Hva er løsningen av denne?

For å avgjøre om punktet du finner er et topp- eller bunnpunkt (eller ingen av delene) kan du se på den deriverte sitt fortegn før og etter punktet.

[Mannebein]

Heisann, så langt er jeg med. men fasit er litt mangelfull:
f'(x)= 4x^3-32
= 4(x^3-8)

Bunnpunkt(2,-45).

Jeg har prøvd meg med kubikkrot av 8 og fått +/- 2. Ved å sette 2 inn i f(x), så får jeg -45. Men skjønner ikke helt sammenhengen her og hvordan man har kommet frem til 2.

[Vektormannen]

Du finner at x = 2 ved å ta kubikkroten på begge sider som du sier. (Ligningen har bare én løsning. x = -2 er jo ikke en løsning, siden [tex](-2)^3 = -8[/tex]. Du blander kanskje med ligningen [tex]x^2 = a^2[/tex] der vi har to løsninger, [tex]x = \pm a[/tex].)

Ekstremalpunktets x-koordinat er altså x = 2. For å finne den tilhørende y-verdien må man gjøre slik du har gjort; finne f(2). Det er jo funksjonen som gir y-verdien til punktene på grafen.

For å vise at dette er et bunnpunkt kan vi som sagt se på fortegnet til den deriverte. Når x < 2 (til venstre for punktet) så er [tex]x^3 - 8[/tex] et negativt tall (hvorfor?) Da synker grafen. Når x > 2 (til høyre for punktet) så er [tex]x^3 - 8[/tex] et positivt tall. Da stiger grafen. I punktet (2,-45) snur grafen altså fra å synke til å stige igjen. Da er (2,-45) et bunnpunkt.

[Mannebein]

Tusen takk for svaret! Dette gjorde ting relativt mye klarere, men jeg ble sittende like fast på en ny og lignende oppgave. Håper du kan hjelpe meg litt på vei på denne også.

Bestem x-verdien til topp- og bunnpunkt for funksjonen g(x)= e^x3-3x^2, x E R.

Jeg har skjønt såpass at man tar for seg x3-3x2 og deriverer. Da får jeg 3x^2-6x. Men hvordan fasit har kommet frem til toppunkt for x=0, og bunnpunkt for x= 0 er jeg blank på.

[Vektormannen]

Hva mener du med e^x3?

[Arctagon]

Jeg skjønner ikke helt hvordan funksjonen din er skrevet. Kan du kanskje prøve å skrive den på nytt med parenteser?

Edit: Vektormannen var visst først.

[2357]

Tolket utifra "Jeg har skjønt såpass at man tar for seg x3-3x2 og deriverer. Da får jeg 3x^2-6x."

[tex]g(x)= e^{x^3-3x^2}[/tex]

[tex]g^\prime(x) = (3x^2-6x)e^{x^3-3x^2}[/tex]

Ettersom eksponentialfunksjonen alltid er positiv, trenger du bare å finne nullpunkter for parantesen som er triviell å løse:

[tex]3x(x - 2) = 0[/tex]

[Arctagon]

Jeg så også det som en mulighet, men det stemte ikke overens med det han sa om at både toppunkt og bunnpunkt skulle ligge ved x = 0.

Edit: Det jeg mente:

[Vektormannen]

Det gir ikke mening å snakke om topp-punkt og bunnpunkt på ett og samme sted, med mindre funksjonen er helt flat (en konstant), så jeg mistenker at det må være en skrivefeil?

[Arctagon]

Jeg tenkte det samme. På en måte er jo funksjonen til en sirkel slik, men det er ikke akkurat relevant her. :p Vi får se.

[Vektormannen]

En sirkel er ikke grafen til en funksjon (men av to funksjoner.) Husk at en funksjon skal gi én, og bare én, y-verdi for hver x-verdi.

[Arctagon]

Okay, da.

[Vektormannen]

Viktig å være presis når man driver med matte

[Mannebein]

Hei alle sammen, og takker for all hjelp. Dessverre er jeg fremdeles noe usikker på hvordan denne skal løses. Hadde satt stoor pris på en smørbrødliste gjennomgang for hvordan løse denne typen problemer.
Bommet på fasiten også gjorde jeg, rett svar skal være toppunkt for x=0, og bunnpunkt for x=2. Beklager det!

Jeg er mest vandt med andregradsfunksjoner hvor man kan fortegnsdrøfte for å bestemme topp eller bunnpunkt, så derfor rår det stor usikkerhet når det kommer til denne typen oppgaver.