Nullpunkt til ekspoentialfunksjon

[malef]

[tex]f(x)=e^x-x^3[/tex]

Jeg skal finne en tilnærmet verdi for nullpunktene til [tex]f[/tex].

[tex]e^x=x^3 \\ x = 3 \ln x \Leftrightarrow \ln x = \frac{x}{3}[/tex]

Hvordan går jeg videre herfra? Enten er det full hjerneblokkering eller så har jeg ikke vært borte i slike ligninger før.

[Nebuchadnezzar]

Legg merke til at det står at du skal tilnærme en løsning, ikke løse den nøyaktig. De fleste likninger kan ikke løses nøyaktig, og dette er en av dem. Har du lært noen metoder for å tilnærme nullpunkter til likninger?

En mulig fremgangsmåte er først å vise at funksjonen har nøyaktig to nullpunkt, ser du hvordan ?

[malef]

Jeg må nok svare nei på begge spørsmålene dine. Supert hvis du kan hjelpe meg videre

[Nebuchadnezzar]

Det er mange måter i tilnærme løsninger til likninger på. (Selvsagt)
Noen er enkle å bruke, men går sakte mot riktig løsning, mens andre er raskere men krever mer regnekraft.

Håper du kommer til å lese sakte igjennom innlegget mitt, fordi det kommer til å bli ganske langt!

Metodene under er rangert fra enklest til vanskeligst, hvor de siste metodene konvergerer raskere, men er noe vanskeligere å benytte seg av. Videre har jeg skrevet noe nøkternt, og kortfattet. Steder merket med (*) er plasser hvor jeg med vilje har utelatt detaljer som du må fylle inn.

Først er det greit å vise at funksjonen faktisk har løsninger. Har den ikke det, kaster vi bare bort tiden vår. Det enkleste her blir bare å skrive inn funksjonen i en kalkulator, eller tegne en grov skisse.

Å forklare hvorfor funksjonen din ikke har noen elementære løsninger, er utenfor rekkevidde av hva dette innlegget forsøker å gjøre. Og det opplyses bare om at selv om funksjonen hadde hatt elementære løsninger, er det ofte lettere å raskere å bare tilnærme disse uansett.

http://www.riskglossary.com/articles/cl ... lution.htm

Legg merke til at funksjonen

[tex]f(x) = e^x - x^3 [/tex]

Spør om skjæringspunktene mellom [tex]e^x[/tex] og [tex]x^3[/tex]. (*)
Videre så har vi at

[tex]\lim_{x \to -\infty} e^x = 0[/tex] og [tex]\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty[/tex].

Slik at eventuelle skjæringspunkter må finnes hvor [tex]x[/tex] er positiv (*). Videre ser vi at [tex]e^0 > 0^3[/tex], [tex]e^3 < 3^3[/tex] og [tex]e^5 > 3^5[/tex] (*). Altså har funksjonen [tex]f(x)[/tex] minst to nullpunkter på intervalet [tex](0,5)[/tex]. Siden begge funksjonene er kontinuerlige, må dette betyr at de krysser minst to ganger.

Å argumentere for at funksjonen har nøyaktig to nullpunkter på intervalet, og at [tex]e^x[/tex] vokser raskere enn [tex]x^3[/tex] når [tex]x>5[/tex] (slik at funksjonen ikke kan ha flere nullpunkter når [tex]x>5[/tex]) overlater jeg til deg =)

Nå har vi vist at funksjonen har nullpunkter, faktisk nøyaktig to nullpunkter! Og vi har funnet et interval som disse ligger mellom (0,5). Nå trenger vi bare å finne en tilnærmet verdi for disse. Den enkleste metoden er

1. Tipping

Tegn funksjonen din, og sett inn noen verdier som du håper på er nærme.
Her leker vi spåkone, men vi kan og bruke litt logikk.
Er en smart kan en legge merke til at

[tex]f\left( \log( 6 ) \right) < 0[/tex] mens [tex]f\left( \log( 7 ) \right) > 0[/tex] (*)

Videre ligger disse to punktene ca like langt fra nullpunktet på begge sider. Dette kan sees ut i fra graf, eller at den tilnærmede verdien er lik, bare med motsatt fortegn. Da kan en anta at nullpunktet [tex]x[/tex], ligger midt mellom disse to. (Noe som ikke stemmer, men det gir en bra tilnærming. Altså så er

[tex]f\left( \log( \frac{6+7}{2} ) \right) \approx 0[/tex] (*)

Alternativt så ser vi ut i fra grafen av f, at det kan være fornuftig å heller tilnærme nullpunktet til tangenten til f. Velger vi et fornuftig startpunkt til tangenten vil vi få en meget god verdi.



Fra figur velger jeg å finne nullpunktet til tangenten til f, som går gjennom punktet x=2. Formelen for tangenten er

[tex]y = (e^a - 3a^2)(x-a) + e^a - a^3[/tex]

Herfra er det bare å sette inn [tex]a=2[/tex], eller en bedre verdi, og løse likningen [tex]y=0[/tex] for [tex]x[/tex].

Til slutt skal det nevnes at [tex]13/7[/tex] gir en ekstremt god tilnærmet verdi for det første nullpunktet. Og setter du [tex]a=13/7[/tex] i tangentformelen, får du nullpunktet med [tex]9[/tex] riktige siffer. Hvorfor akkuratt [tex]13/7[/tex] gir en så bra verdi, overalter jeg til deg.

Det andre nullpunkter får du tenke litt på selv, men gode tilnærmede verdier er for eksempel.

[tex]\sqrt[3]{3} \pi[/tex] , [tex]\frac{13}{9}\pi[/tex] eller [tex]\frac{\pi}{\log 2}[/tex]

Eller den mer kjedelige [tex]4 + 27/50[/tex]. Alle disse verdiene kan en forbedre ved å bruke tangentmetoden.

En siste ting er at en og kan finne en verdi på hver side av nullpunktet, og ta gjennomsnittet av disse. For den andre roten fungerer fint [tex]\ln(90)[/tex] og [tex]\ln(98)[/tex]. Igjen kan gjennomsnittet av disse to verdiene puttes inn i tangtentformelen for en enda bedre verdi.

1.5 Bijeksjonsmetoden

http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method

Dette er en metode jeg ikke vil gå nøyere inn på, men den er svært enkel å benytte seg av. Metoden går ut på at du velger deg to verdier, på hver sin side av nullpunktet ditt. Så langt unna som du bare måtte ønske.
Kall disse verdiene for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex], hvor [tex]a<b[/tex].
Så finner vi midtpunktet mellom disse, og kaller denne verdien for

[tex]c = ( a + b ) / 2[/tex]

Nå dersom f(c) har samme fortegn som f(a), betyr dette at nullpunktet ligger mellom c og b, mens om f(c) har samme fortegn som f(b), betyr det at nullpunktet ligger mellom a og c (*)

Dersom [tex]\text{fortegn}f(a)=\text{fortegn}f(c)[/tex], så [tex]a=c[/tex].
Dersom [tex]\text{fortegn}f(b)=\text{fortegn}f(c)[/tex] så [tex]b=c[/tex],

også fortsetter vi. Tegner du en fin tegning, ser du at vi hele tiden halverer intervalet vårt. Men på grunn av formen til funksjonen din, vil denne metoden her konvergere sake.

2. fikspunkt iterasjon. (Les deg mer opp på emnet selv ^^)

Fikspunkt-iterasjon går enkelt ut på at du siksakker deg mellom to funksjoner, til du finner skjæringspunktet mellom dem. Og da er det selvsgt greit at funksjonene har et skjæringspunkt, ellers går metoden i dass. Det er og noen andre kriterier, som at de dobbeltderiverte må oppføre seg relativt pent, men det gjør de heldigvis her.



Et fikspunkt er et punkt slik at [tex]f(c) = c[/tex], og for å utføre fikspunkt-iterasjonen trenger vi funksjonen på denne formen. Det gjøres enkelt som vist under

[tex]x = e^{x/3}[/tex] (*)

Herfra er det bare å skrive inn [tex]0[/tex] på kalkulatoren, også skriver du

Kode: Velg alt

e^(ans/3)

og hamrer løs på likhetsknappen et titals ganger. (*) Jeg lar det være opp til deg igjen å finne en annen startverdi som tilnærmer den andre roten.

3. Newtons Metode

Dette er den mest klassiske metoden studenter og elever lærer for å tilnærme funksjoner. Om funksjonen er snill, dobbles antall korrekte siffer for hver iterasjon. Dog krever hver iterasjon en del regnekraft, slik at
andre tilnærmingsmetoder er ofte å foretrekke.

Metoden baserer seg på at funksjonen oppfører seg relativt pent i et omhegn omkring nullpunktet. Videre så antas det at det er mye enklere å finne nullpunktet til en tangent til funksjonen, enn funksjonen selv.
Og dette var vi borti før, når vi lekte spåkoner.

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method



Her definerer vi

[tex]G(x) \,=\, x - \frac{f(x)}{f^\prime(x)} \,=\, x - \frac{e^x-x^3}{e^x-3x^2}[/tex]

Så her bare velger vi ut en verdi, for eksempel [tex]1[/tex]. Også putter vi svaret vi får ut, inn i funksjonen igjen. Så neste verdi blir for eksempel

[tex]G(G(1))[/tex], også får vi [tex]G(G(G(1)))[/tex] osv. Da får vi en bedre og bedre verdi.

Et problem med denne metoden er at den konvergerer saktere jo brattere funksjonen er. (Hvorfor lar jeg være opp til deg å tenke på ^^) og din funksjon er bratt. Slik at for at [tex]G(x)[/tex] skal konvergere hurtig, må en god startverdi velgers. Eksempelvis skriv inn

[tex]2[/tex]

på kalkulatoren din, forså å skrive inn

Kode: Velg alt

(e^ans - ans^3)/(e^ans - 3*ans^2

Og hamre løs, da faller ene løsningen ganske fort ut. Den andre løsningen er mer vanskelig å få ut. Siden nesten uansett hvilken verdi du velger som startverdi, vil den konvergere mot den første roten (*)

[tex]9/2[/tex] eller [tex]\ln(100)[/tex] er gode startverdier for den andre roten.

3. [tex]\text{LambertW}[/tex] funksjonen

Dette er ikke en tilnærming, men her benyttes en funksjon som noen kalkulatorer har, til å løse likningen. Merk at her får vi bare ut en løsning. (En utfordring til deg er å se hvorfor )

På samme måte som matematikkere har funnet opp logaritmer til å løse likninger på formen

[tex]x^b = c \qquad \Leftright \qquad x = \log_b (c)[/tex]

Så har matematikekre funnet opp [tex]\text{LambertW}[/tex] funksjonen, for å løse likninger på formen

[tex]Y = X e^X \qquad \Leftright \qquad X = \text{W}(Y)[/tex]

Så vi må skrive om funksjonen din, slik at den er på samme form, som ovenfor. (Dette gjøres jo og når du skal løse oppgaver som inneholder logaritmer.)

[tex]x^3 = e^x[/tex]

[tex]x = e^{x/3} [/tex]

[tex]1 = x e^{-x/3} [/tex]

[tex]-\frac{1}{3} \cdot 1= - \frac{x}{3} e^{-x/3}[/tex]

[tex]-\frac{1}{3}x = \text{W}(-1/3)[/tex]

[tex] x = - 3 \text{W}(-1/3)[/tex]

Noen mellomregninger ble gjort noe fort, men du får prøve å fylle igjen hullene. Her antas det at kalkulatoren din har en [tex]\text{LambertW}[/tex] knapp, ellers så er denne metoden nytteløs. Men funksjonen er ikke mer magisk enn logaritmer.

[malef]

Jeg skal lese sakte og nøye

[svinepels]

Lærer man noen tilnærmingstmetoder på vgs? Poenget er sikkert at du skal tegne grafene i et koordinatsystem og se sånn ca. hvor de skjærer hverandre e.l.

[malef]

Lærer man noen tilnærmingstmetoder på vgs? Poenget er sikkert at du skal tegne grafene i et koordinatsystem og se sånn ca. hvor de skjærer hverandre e.l.

Det synes jeg de burde presisert i oppgaven, men det kan godt tenkes at du har rett. Første deloppgave var nemlig å tegne grafen med digitalt hjelpemiddel. Oppgaven burde vært "Les av tilnærmede verdier for nullpunktene" hvis det er det man skal gjøre. Men da var det i alle fall ikke jeg som var blitt hjernedød

[mikki155]

Jeg husker denne oppgaven, og det eneste som kreves er å finne omtrentlig løsning. Husk at i a)-oppgaven skulle du jo tegne den digitalt, og da trenger du bare å se ut ifra den omtrentlig hvor den skjærer. Det var hvert fall sånn jeg løste den.

Men er ganske sikker på at man ikke lærer noen metoder for tilnærmete verdier på vgs.

[malef]

Da er denne oppgaven dagens absolutte antiklimaks.

Men må si jeg ble litt nysgjerrig på tilnærmingsløsning

[mikki155]

Du kan lese litt om det her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_function

Hvis ikke har vi andre eksperter på forumet som sikkert kan forklare litt

[Nebuchadnezzar]

LambertW er da på ingen måte en tilnærmet løsning.
Men ja, antar du bare skal titte på grafen og finne løsningene. Ikke at du lærer noe av dette da.

Og det er jo alltid artig å snuse på mer avansert matte, hvor en faktisk løser oppgaven gjennom matte og ikke gjennom synsing og gjetting.

Vi er tross alt matematikkere ikke spåkoner

[PeerGynt]

Imponerende av Nebuchadnezzar. Føler nesten suget etter å studere matematikk igjen. Velformulert og inspirerende.

[mikki155]

Fantastisk, husk at de forrige kommentarene mine ble skrevet før Nebbu la ut mesterverket sitt ^^

[malef]

Jeg vet nesten ikke hva jeg skal si. Jeg kan begynne med tusen takk! Som sagt kommer jeg til å lese dette grundig, og jeg kommer til å bruke noen dager på det, så får vi se hvor mye jeg klarer å fordøye. Kommer til å følge opp i denne tråden.

Det som er helt klart, er at jeg ikke kommer til å gi meg med matten etter R2. Inspirasjonen fra dette forumet er fantastisk!

[malef]

Legg merke til at funksjonen

[tex]f(x) = e^x - x^3 [/tex]

Spør om skjæringspunktene mellom [tex]e^x[/tex] og [tex]x^3[/tex]. (*)
.

Det stopper opp for meg allerede her. Jeg trodde jeg skjønte påstanden rent intuitivt, men så satte jeg opp [tex]f(x)=2x-3x[/tex]. Da skulle man tro at funksjonen spurte om skjæringspunktene mellom [tex]2x[/tex] og [tex]3x[/tex], men det gjør den vel ikke?

Jeg har nok ikke reflektert så mye over metodene jeg benytter meg av ...