matematikk.net

Hei

Jeg har støtt på nok en utfordring:

Et plan har likning x-2y-2z=k. Snittsirkelen mellom dette planet og kuleflaten har radius 4. Bestem k.

Er det noen kreative genier der ute som har et løsningsforslag?

Hvilken kuleflate?

Uansett, når du vet radius i snittsirkelen og radius i kula (jeg antar du har, eller kan finne den), så kan du finne avstanden det er fra planet og til sentrum i kula ganske greit. Her er det lurt å tegne en figur (det holder med et 2D-snitt av situasjonen)! Når den avstanden er kjent kan du bestemme k.

Kuleflaten er gitt ved x^2+y^2+z^2-4x+4y-8z=1. Altså er radius i kula lik 5. Jeg har regnet ut at avstanden mellom snittsirkelen og planet er lik 3 (gjorde det før jeg skrev dette innlegget), men kommer ikke videre.

Hva mener du med at avstanden mellom snittsirkelen og planet er 3? Snittsirkelen ligger jo i planet! Du mener kanskje avstanden mellom planet og sentrum av kula?

Ja, selvfølgelig, jeg beklager. Avstanden fra sentrum i kula til planet er 3.

Er du enig i at det vil være to plan (to forskjellige k-verdier) som oppfyller kravene her? (Et på hver side av sentrum.)

Ok, så avstanden er 3. Er du med på at da må punktet du får når du starter i sentrum og "går" en avstand 3 langs normalvektoren gi deg et punkt i det ene planet? Og er du med på at det hvis du gjør det samme, men går i stikk motsatt retning av normalvektoren så får du et punkt i det andre planet?

Jeg har nå satt opp en parameterfremstilling for en linje som har normalvektoren til snittsirkelen som retningsvektor og som går gjennom sentrum av kula.

x=2+t ^ y=-2-2t ^ 4-2t

Denne linja går vel også gjennom sentrum R i snittsirkelen? Deretter har jeg satt lengden av vektor SR lik 3. Da får jeg t = -1 V t = 1. Dette gir imidlertid feil svar for k.

Hva gjør jeg galt?

Hvordan gikk du frem for å finne k da? (Og hva sier fasiten om k?)

Jippi! Når har jeg klart å løse oppgaven. Jeg hadde funnet riktige verdier for t, feilen lå i den videre regningen. Tusen takk for all hjelp!

Dessverre er det en annen oppgave jeg ikke klarer å løse:

En plan har likningen ax+by+cz+d=0. En rett linje går gjennom origo og står vinkelrett på planet. Finn skjæringspunktet mellom linja og planet, uttrykt ved a, b, c og d.

Jeg har funnet følgende parameterfremstilling for linja:
x=at ^ y=bt ^ z=ct

Denne har jeg satt inn i likningen for planet:
a(at) + b(bt) + c(ct) + d = 0

Det jeg lurer på er hvordan jeg blir kvitt parameteren t. Eller er løsningsmetoden jeg har valgt helt på jordet?

Du kan ikke bli kvitt parameteren t. Husk at det er denne som vil gi deg punktet du er ute etter! Du er altså ute etter å finne t.

Det du har funnet ut nå er at t må oppfylle at [tex]a^2 t + b^2 t + c^2 t + d = 0[/tex]. Ser du hvordan du kan finne t da?

Tusen takk for hintet! Nå kom jeg frem til riktig løsning.

Jeg sitter også fast med en oppgave som likner den forrige du hjalp meg med.

En kuleflate er gitt ved x^2 + y^2 + z^2 - 64 = 0 og et plan er git ved
2x + 2y - z = 18. Skjæringskurven mellom kuleflaten og planet er en sirkel. Bestem radius og sentrum for sirkelen.

Radius fant jeg ved å bruke pytagoras. Sentrum, derimot, er en nøtt jeg ikke klarer å knekke. Jeg har funnet en parameterfremstilling for linja l mellom sentrum i kula og sentrum i snittsirkelen. Ettersom kula har sentrum i (0,0,0) er dette et punkt på l. Normalvektoren til planet er retningsvektor for l. Det gir:

l: x=2t / y=2t / z=-t

Lengden mellom sentrum i kula og planet er 6. Altså må vektoren mellom de to sentraene være lik 6. Da får jeg 9t^2=36, t= -4 / t=4. Disse verdiene setter jeg inn i parameterfremstillingen, men svaret jeg får er galt. Jeg antar at det også er feil å få to svar. Planet som skjærer kula er vel entydig bestemt?

[/i]

Tusen takk for hintet! Nå kom jeg frem til riktig løsning.

Jeg sitter også fast med en oppgave som likner den forrige du hjalp meg med.

En kuleflate er gitt ved x^2 + y^2 + z^2 - 64 = 0 og et plan er git ved
2x + 2y - z = 18. Skjæringskurven mellom kuleflaten og planet er en sirkel. Bestem radius og sentrum for sirkelen.

Radius fant jeg ved å bruke pytagoras. Sentrum, derimot, er en nøtt jeg ikke klarer å knekke. Jeg har funnet en parameterfremstilling for linja l mellom sentrum i kula og sentrum i snittsirkelen. Ettersom kula har sentrum i (0,0,0) er dette et punkt på l. Normalvektoren til planet er retningsvektor for l. Det gir:

l: x=2t / y=2t / z=-t

Lengden mellom sentrum i kula og planet er 6. Altså må vektoren mellom de to sentraene være lik 6. Da får jeg 9t^2=36, t= -4 / t=4. Disse verdiene setter jeg inn i parameterfremstillingen, men svaret jeg får er galt. Jeg antar at det også er feil å få to svar. Planet som skjærer kula er vel entydig bestemt?

Ja, det er bare et slikt plan. Måten du finner skjæringspunktet på er egentlig ikke gal og bør gi rett svar for en av t-verdiene. Men her kan du også gjøre det enklere. Tenk litt på hva du gjorde i forrige oppgave. Er du enig i at dette er mye av det samme? Du har en linje, og du ønsker å finne skjæringspunktet mellom denne og planet.

EDIT: Når jeg regner på din måte får jeg t = -2 eller t = 2.

Blemme! For en tåpelig regnefeil - jeg glemte å ta kvadratroten av 4. Dessuten er det jo mye enklere å sette uttrykkene for x, y og z gitt ved parameterfremstillingen for linja inn i likningen for planet. Takk for den gode hjelpen

Håper jeg kan få stille et sprøsmål til. I noen av oppgavene jeg jobber med er det en fordel å kunne skissere romfigurer. Ifølge Aschehougs lærebok "Matemarikk R2" skal jeg "merke av x- og y-koordinatene" og så dra punktene til riktige z-koordinat. For punktet (2,1,5) skal jeg altså markere 2 på x-aksen, deretter gå 1 enhet i y-retningen, og til slutt "hoppe" til z=5. Jeg har i stedet markert 2 på x-aksen, gått 1 enhet i y-retningen og så gått 5 enheter i z-retningen før jeg har markert punktet.

På papiret ser det ut som om de to metodene gir en romfigur ulik plassering i koordinatsystemet (i forhold til origo og aksene). Men det spiller kanskje ingen rolle? I rommet er vel figurens plassering den samme? Det jeg med andre ord lurer på er om begge metodene kan brukes. Eller er den ene mer korrekt enn den andre?

Gjør du ikke egentlig det samme når du gjør det på de to måtene? Jeg kan egentlig ikke se hvordan rekkefølgen man tar koordinatene i skal ha noe å si. Det er ikke noen metode som er mer riktig enn andre i alle fall.