Hei,
lurer på om hvis man ser på en graf som skjærer x-aksen to ganger f.eks ved x= 2 og x= -2 og y- aksen ved y=4, hvordan skal man ved hjelp av disse opplysninger sette opp funksjonsutrykk for grafen?
ser frem til gode svar...
Teknikk for å sette funksjonsuttrykk av å se graf
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du vet at grafen skjerer x-aksen to gonger, noe som er typisk andregradsligninger. Andregradsligninger skriver man som f(x)=ax^2+bx+c
Så du vil finne ut hva a, b, og c er når du vet at nullpunktene er x=2, noe som gir f(2)=0, og at x=-2, noe som gir f(-2)=0. I tillegg vet du at når funksjonen krysser y-aksen, altså at når x=0 er f(x)=4, som gir f(0)=4
Ut ifra dette kan du sette opp en ligning tre ligninger.
Siden x=0, gir f(x)=a*0^2+b*0+c=4 må c'en være 4.
då har vi f(x)=ax^2+bx+4, vi setter x=2 og får:
I 4a+2b+4=0 Vi setter så x=-2
II 4a-2b+4=0
Du kan så løyse dette ligningsettet og du finner då ut hva a og b er.
Den enkle måten er derimot å skrive funksjonen som
f(x)=a*(x-x_1)(x-x_2), dette kan du gjøre siden du vet at f(x) har to nullpunkt
Du vet to nullpunkt, x=2 og x=-2 så då er
f(x)=a(x-2)(x+2), vi trenger nå bare å finne a'en.
vi vet at f(0)=4, altså
f(0)=a*(-2)(2)=4
-4a=4
a=-1
svar: f(x)=-(x-2)(x+2)
*rettet opp noen feil*
Så du vil finne ut hva a, b, og c er når du vet at nullpunktene er x=2, noe som gir f(2)=0, og at x=-2, noe som gir f(-2)=0. I tillegg vet du at når funksjonen krysser y-aksen, altså at når x=0 er f(x)=4, som gir f(0)=4
Ut ifra dette kan du sette opp en ligning tre ligninger.
Siden x=0, gir f(x)=a*0^2+b*0+c=4 må c'en være 4.
då har vi f(x)=ax^2+bx+4, vi setter x=2 og får:
I 4a+2b+4=0 Vi setter så x=-2
II 4a-2b+4=0
Du kan så løyse dette ligningsettet og du finner då ut hva a og b er.
Den enkle måten er derimot å skrive funksjonen som
f(x)=a*(x-x_1)(x-x_2), dette kan du gjøre siden du vet at f(x) har to nullpunkt
Du vet to nullpunkt, x=2 og x=-2 så då er
f(x)=a(x-2)(x+2), vi trenger nå bare å finne a'en.
vi vet at f(0)=4, altså
f(0)=a*(-2)(2)=4
-4a=4
a=-1
svar: f(x)=-(x-2)(x+2)
*rettet opp noen feil*
Hei, hvordan ville de ha vært hvis vi hadde 3 nullpunkter, en tredjegradsfunksjon som ikke krysset y-aksen.
La oss si at nullpunkter er ved X= 2, X= 6 og X = 8...
En annen spm. er om når f.eks grafen så vidt toucher x-aksen ved å synke ned og vender opp igjen, hvordan er teknikken da?
skal man telle det som nullpunkt to ganger fordi det tangerer?
ser frem til svar,,,
La oss si at nullpunkter er ved X= 2, X= 6 og X = 8...
En annen spm. er om når f.eks grafen så vidt toucher x-aksen ved å synke ned og vender opp igjen, hvordan er teknikken da?
skal man telle det som nullpunkt to ganger fordi det tangerer?
ser frem til svar,,,
When men, even unknowingly, are to meet one day, whatever may befall each, whatever the diverging paths, on the said day, they will inevitably come together in the red circle.
Hei.
Du spør om hvordan man kan finne frem til et funksjonsuttrykk for en graf man kun kjenner i noen gitte punkter. Denne typen problemer kalles interpolasjon, og det finnes mange forskjellige tilnærminger. En enkel metode er polynominterpolasjon.
Dersom du har gitt [tex]\{x_i\}_{i=0}^{n}[/tex] distinkte punkter der [tex] x_k \in Df[/tex], kan du finne et unikt polynom [tex]f[/tex] av grad n som interpolerer f i de gitte punktene.
Kaller du interpolasjonspolynomet for [tex]p_{n}(x)[/tex], har vi at
[tex]p_{n}(x) = c_{0} + c_{1}(x-x_{0}) + c_{2}(x-x_{0})(x-x{1}) + ... + c_{n}(x-x_{0})(...)(x-x_{n-1}) [/tex]
For å finne koeffisientene, gjør vi følgende:
Hvis vi først ser på tilfellet hvor vi kun kjenner to datapunkt, [tex]x_0, x_1[/tex], setter vi
[tex]p_{1}(x) = c_0 + c_1(x-x_0) [/tex], hvor [tex]p_{1}(x_0) = c_0 + c_1(x_0 - x_0) = c_0 = f(x_0)[/tex].
Altså vet vi nå at [tex]c_0 = f(x_0)[/tex].
Så prøver vi å sette inn for [tex]x_1[/tex]:
[tex]f(x_1) =p_{1}(x_1) = f(x_0) + c_1(x_1 - x_0) \Rightarrow c_1 = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}[/tex]
Nå har vi altså funnet konstantene til interpolasjonspolynomet av grad 1. Hadde vi fortsatt denne regningen for et polynom av grad to (altså et andregradspolynom), hadde vi funnet at:
[tex]c_2 = \frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x2-x1} - \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x1-x0}}{x_2 - x_0}[/tex]
Her er et klargjørende eksempel:
Tenk det at du har fått gitt tre punkter: [tex]x_0 = 0, x_1 = 1, x_2 = 2[/tex], og y-verdier:
[tex]f(x_0) = 0, f(x_1) = 1, f(x_2) = 4.[/tex]
Vi ønsker å finne et polynom på formen [tex]p_{2}(x) = c_0 + c_1(x-0) + c_1(x)(x-1)[/tex]
Og ser vi på formelene for konstantene, finner vi at
[tex]c_0 = f(x_0) = 0, c_1 = \frac{1-0}{1-0} = 1, c_2 = \frac{\frac{4-1}{2-1} -1}{2-0} = 1[/tex]
Altså er polynomet vi leter etter: [tex]p_{2}(x) = 0 + 1(x-0) + 1(x-0)(x-1) = x+x^2 -x = x^2[/tex]
Du spør om hvordan man kan finne frem til et funksjonsuttrykk for en graf man kun kjenner i noen gitte punkter. Denne typen problemer kalles interpolasjon, og det finnes mange forskjellige tilnærminger. En enkel metode er polynominterpolasjon.
Dersom du har gitt [tex]\{x_i\}_{i=0}^{n}[/tex] distinkte punkter der [tex] x_k \in Df[/tex], kan du finne et unikt polynom [tex]f[/tex] av grad n som interpolerer f i de gitte punktene.
Kaller du interpolasjonspolynomet for [tex]p_{n}(x)[/tex], har vi at
[tex]p_{n}(x) = c_{0} + c_{1}(x-x_{0}) + c_{2}(x-x_{0})(x-x{1}) + ... + c_{n}(x-x_{0})(...)(x-x_{n-1}) [/tex]
For å finne koeffisientene, gjør vi følgende:
Hvis vi først ser på tilfellet hvor vi kun kjenner to datapunkt, [tex]x_0, x_1[/tex], setter vi
[tex]p_{1}(x) = c_0 + c_1(x-x_0) [/tex], hvor [tex]p_{1}(x_0) = c_0 + c_1(x_0 - x_0) = c_0 = f(x_0)[/tex].
Altså vet vi nå at [tex]c_0 = f(x_0)[/tex].
Så prøver vi å sette inn for [tex]x_1[/tex]:
[tex]f(x_1) =p_{1}(x_1) = f(x_0) + c_1(x_1 - x_0) \Rightarrow c_1 = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}[/tex]
Nå har vi altså funnet konstantene til interpolasjonspolynomet av grad 1. Hadde vi fortsatt denne regningen for et polynom av grad to (altså et andregradspolynom), hadde vi funnet at:
[tex]c_2 = \frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x2-x1} - \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x1-x0}}{x_2 - x_0}[/tex]
Her er et klargjørende eksempel:
Tenk det at du har fått gitt tre punkter: [tex]x_0 = 0, x_1 = 1, x_2 = 2[/tex], og y-verdier:
[tex]f(x_0) = 0, f(x_1) = 1, f(x_2) = 4.[/tex]
Vi ønsker å finne et polynom på formen [tex]p_{2}(x) = c_0 + c_1(x-0) + c_1(x)(x-1)[/tex]
Og ser vi på formelene for konstantene, finner vi at
[tex]c_0 = f(x_0) = 0, c_1 = \frac{1-0}{1-0} = 1, c_2 = \frac{\frac{4-1}{2-1} -1}{2-0} = 1[/tex]
Altså er polynomet vi leter etter: [tex]p_{2}(x) = 0 + 1(x-0) + 1(x-0)(x-1) = x+x^2 -x = x^2[/tex]
En tredjegradsfunksjon med nullpunkter i x=2, 6, 8 vil være (x-2)(x-6)(x-8)rembrandt skrev:Hei, hvordan ville de ha vært hvis vi hadde 3 nullpunkter, en tredjegradsfunksjon som ikke krysset y-aksen.
La oss si at nullpunkter er ved X= 2, X= 6 og X = 8...
En annen spm. er om når f.eks grafen så vidt toucher x-aksen ved å synke ned og vender opp igjen, hvordan er teknikken da?
skal man telle det som nullpunkt to ganger fordi det tangerer?
ser frem til svar,,,
Hvis grafen akkurat toucher x-aksen, la oss si i x=2, så vil det i tilfellet andregradsfunksjon være [tex]f(x)=(x-2)(x-2)=x^2-4x+4[/tex]. Som vi ser så har den to faktorer, men de er like og gir derfor samme nullpunkt.
Når det gjelder å ikke krysse y-aksen, så er dette bare definisjonsmengde-greie. Hvis funksjonen kun er definert for x > 1, så vil den aldri krysse y-aksen.
