matematikk.net

http://www.udir.no/Upload/Eksamen/Vider ... R2_V11.pdf

Hei,

jeg lurer på om noen kan forklare meg oppgave 1 C vår 2011 eksamen i R2.

Jeg forstår hvordan det kommer frem til løsning, men er usikker på den begrensningen 1 [symbol:integral] -1 og lurer på om hvordan skal jeg kunne se at det gjelder for halve sirkel og ikke hele, og at det er gjeldende for øvre del av sirkel og ikke nedre.

Ser frem til konstruktivt tilbakemelding.

På forhånd takk.

Ligningen for en sirkel med radius 1 og sentrum i origo er [tex]x^2 + y^2 = 1[/tex]. Løser vi for y får vi: [tex]y = \sqrt{1-x^2} \ \vee \ y = -\sqrt{1-x^2}[/tex].

Den som har positivt fortegn er alltid positiv. Den må altså, for hver x-verdi, gi oss y-verdien til det tilhørende punktet på den øvre delen av sirkelen. På samme måte må den med negativt fortegn gi oss y-verdien til alle punktene på den nedre delen av sirkelen.

Når vi integrerer [tex]y = \sqrt{1-x^2}[/tex] og x går fra -1 til 1, så finner vi arealet under mellom den øvre sirkelbuen og x-aksen, fra x = -1 til x = 1. Fra figuren ser vi at det er arealet av hele den øvre delen av sirkelen. Det er altså [tex]\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}[/tex].

En annen måte å tenke på er at arealet av sirkelen er [tex]\pi\cdot1^2=\pi[/tex]

Og av symmetri grunnen som Vektormannen beskriver, vil integralet bli:

[tex]\int_{-1}^1 sqrt{1-x^2}dx=2\int_0^1 sqrt{1-x^2}dx[/tex]

[tex]\int_0^1 sqrt{1-x^2}dx[/tex] vil være[tex]\frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}[/tex]

Kanskje dette var litt over pensum, men jeg lar nå det stå hvis andre skulle være interessert.

Edit: 6 posts til 5000 nå Vektormannen. Gratulerer på forskudd

Andreas, hvordan fikk du 2 fra intet?

Vektormann takk for svaret.

Integralet fra 0 til 1 er pi/4, og du ser via symmetri at intgralet fra -1 til 0 er det samme. Altså ganger ha med 2.

Takk dan, men kan du forklare meg enhetssirkel. Jeg blir forvirret, på forhånd takk.

Vel, enhetssirkelen er en sirkel med radius 1 slått om origo i et x-y-koordinatsstem.


Hvis vi vil ha en formel for sirkelen, kan vi tenke på alle punkter som ligger i avstand 1 fra origo, altså at x^2 + y^2 = 1.

Løser du mhp. y, får du en eksplisitt formel med x som variabel for halvsirkelen fra -1 til 1. y = sqrt(1-x^2).

Denne er symmetrisk om x = 0, og arialet er altså like stort under begge halvsirklene.

Rettelse: under begge halvdelen, hvis vi lar y-aksen dele sirkelen