Hei,
Jeg må finne de eksakte løsningen av ligning når x E [0,4]
2 cos ( ([symbol:pi] /2)*x)=1
mitt løsningsforslag:
minste verdien: (0,4)
[symbol:pi]/2 * 0 = 0
største verdien: (0,4)
[symbol:pi]/2 * 4 = 2 [symbol:pi]
-----------------
2 cos ( ([symbol:pi] /2)*x)=1
cos ( ([symbol:pi] /2)*x) = 1/2
cos^-1(1/2) = 60 grader <--> [symbol:pi] / 3
-----
cos ( ([symbol:pi] /2)*x) = [symbol:pi] / 3
x= 2/3
cos ( ([symbol:pi] /2)*x) = - [symbol:pi] / 3
x= - 2/3 <-- svaret her skal egentlig bli 10/3 ifølge fasiten... hvordan ? Og jeg skjønner meg ikke hvorfor vi trenger minste verdi og største verdi- til å begrense svaret ?
Takk
Eksakte løsninger
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Grothendieck
- Innlegg: 828
- Registrert: 13/10-2007 00:33
Hei.
Når du løser ligninger med et gitt intervall må du alltid sjekke at løsningen du får er innenfor det gitte intervallet. Cosinus er en periodisk funksjon, med periode [tex]2\pi[/tex]
Dermed blir svaret ditt:
[tex]\frac{\pi}{2}\cdot x =-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot n[/tex]
Hvor [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]
Klarer du nå å få riktig svar?
Når du løser ligninger med et gitt intervall må du alltid sjekke at løsningen du får er innenfor det gitte intervallet. Cosinus er en periodisk funksjon, med periode [tex]2\pi[/tex]
Dermed blir svaret ditt:
[tex]\frac{\pi}{2}\cdot x =-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot n[/tex]
Hvor [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]
Klarer du nå å få riktig svar?
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Det signaturen Andreas345 sier er riktig, men kan uttrykkes mer presist. Den generelle løsningen av den triogonometriske likningen
[tex](1) \; \cos (\frac{\pi}{2}x) \;=\; \frac{1}{2}[/tex]
er
[tex](2) \; \frac{\pi}{2}x \;=\; \pm \frac{\pi}{3} \:+\: 2k\pi,[/tex]
der [tex]k[/tex] er et vilkårlig heltall. Ved å gange (2) med [tex]\frac{2}{\pi}[/tex], blir resultatet
[tex](3) \; x \;=\; \pm \frac{2}{3} \:+\: 4k.[/tex]
Så når [tex]x \in [0,4][/tex], får vi vha. av (3) at (1) har to løsninger, nemlig
[tex]x \;=\; +\frac{2}{3} \:+\: 4 \cdot 0 \;=\; \frac{2}{3}[/tex]
og
[tex]x \;=\; -\frac{2}{3} \:+\: 4 \cdot 1 \;=\; \frac{10}{3}.[/tex]
[tex](1) \; \cos (\frac{\pi}{2}x) \;=\; \frac{1}{2}[/tex]
er
[tex](2) \; \frac{\pi}{2}x \;=\; \pm \frac{\pi}{3} \:+\: 2k\pi,[/tex]
der [tex]k[/tex] er et vilkårlig heltall. Ved å gange (2) med [tex]\frac{2}{\pi}[/tex], blir resultatet
[tex](3) \; x \;=\; \pm \frac{2}{3} \:+\: 4k.[/tex]
Så når [tex]x \in [0,4][/tex], får vi vha. av (3) at (1) har to løsninger, nemlig
[tex]x \;=\; +\frac{2}{3} \:+\: 4 \cdot 0 \;=\; \frac{2}{3}[/tex]
og
[tex]x \;=\; -\frac{2}{3} \:+\: 4 \cdot 1 \;=\; \frac{10}{3}.[/tex]