Side 1 av 2
Vektorprodukt
Lagt inn: 10/11-2012 16:13
av HåpløsSOS
Jeg trenger hjelp med følgende oppgave:
Vi har gitt vektorene u = I1,1,1I og v = I1,2,3I.
Finn en vektor w ikke lik v slik at u x w = u x v.
Hvordan skal jeg tenke for å kunne løse oppgaven?
Lagt inn: 10/11-2012 16:46
av Janhaa
først se på
[tex]\vec u \times \vec v[/tex]
deretter
[tex]\vec w\times \vec u=[x,y,z]\times u[/tex]
osv...
Lagt inn: 10/11-2012 17:34
av HåpløsSOS
Jeg har skrevet
Ix,y,zI x I1,1,1I = I1,-2,1I
Det gir likningssettet
y - z = 1
z - x = -2
x - y = 1
Hvis jeg løser settet, får jeg 0 = 0, men dette gir jo ikke svar på oppgaven
Lagt inn: 10/11-2012 17:50
av Nebuchadnezzar
Du har tenkt og gjort riktig så langt, men prøv å løs
likningsettet igjen. Virker som du bare har gjort en slurvefeil, fordi likningsettet har uendelig mange løsninger.
Ut i fra de to øverste likningene kan du uttrykke både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] via [tex]z[/tex].
[tex]y = z + 1[/tex] og [tex]x = 2 - z[/tex]. Dersom du nå setter dette inn i siste likning og ser om [tex]x - y = 1[/tex] for alle [tex]z[/tex]. Så vil en løsning være alle vektorer på formen
[tex]v = [z+1,\, 2 - z,\,z][/tex]
Lagt inn: 10/11-2012 18:16
av Janhaa
HåpløsSOS skrev:Jeg har skrevet
Ix,y,zI x I1,1,1I = I1,-2,1I
Det gir likningssettet
y - z = 1
z - x = -2
x - y = 1
Hvis jeg løser settet, får jeg 0 = 0, men dette gir jo ikke svar på oppgaven
ser kun ut som du har fortegnsfeil...
Lagt inn: 10/11-2012 19:31
av HåpløsSOS
I fasiten står det at w = v - u = I0,1,2I er en mulig løsning. Dette får jeg ikke til å stemme overens med det som har blitt skrevet over.
Lagt inn: 10/11-2012 19:34
av Janhaa
HåpløsSOS skrev:I fasiten står det at w = v - u = I0,1,2I er en mulig løsning. Dette får jeg ikke til å stemme overens med det som har blitt skrevet over.
hvor over?
du har sjøl fortegnsfeil, som jeg prøvde å si...
Lagt inn: 10/11-2012 19:37
av Janhaa
jeg fikk;
[tex][x,y,z]=[x,x+1,x+2][/tex]
som er i tråd med fasiten din, x = 0
gir da
[tex][0, 1, 2][/tex]
u. s. w.
Lagt inn: 10/11-2012 20:41
av HåpløsSOS
Hvordan kommer man frem til at w = v - u ?
Lagt inn: 11/11-2012 11:41
av Vektormannen
Det er bare én av de mange løsningene. For å komme frem til dem bruker vi at [tex]\vec{u} \times \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \ \Leftrightarrow \ \vec{u} \times (\vec{w} - \vec{v}) = \vec{0}[/tex]. Når er et kryssprodukt lik nullvektoren?
Lagt inn: 11/11-2012 19:22
av HåpløsSOS
Kryssporduktet av to vektorer er lik null dersom vektorene er parallelle.
Men jeg forstår ikke ekvivalensen ...
Lagt inn: 11/11-2012 19:56
av 2357
Flytt over og faktoriser.
Lagt inn: 11/11-2012 20:37
av Vektormannen
HåpløsSOS skrev:Kryssporduktet av to vektorer er lik null dersom vektorene er parallelle.
Men jeg forstår ikke ekvivalensen ...
Akkurat, og hvis [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{w} - \vec{v}[/tex] skal være parallelle så kan vi si at [tex]\vec{w} - \vec{v} = k\vec{u}[/tex], ikke sant? Men da er jo [tex]\vec{w} = \vec{v} + k\vec{u}[/tex]! Altså vil alle vektorer [tex]\vec{w}[/tex] som passer inn i ligningen være gitt ved dette uttrykket, der k kan være et hvilket som helst reelt tall. Eksempelet de nevner i fasiten får vi da ved å ta k = -1.
Lagt inn: 11/11-2012 20:58
av HåpløsSOS
Så klabert!
Åltså er u II w - v.
Vil det da si at w = k (v - u) er et uttrykk for alle løsninger på oppgaven?
Lagt inn: 11/11-2012 21:02
av Vektormannen
Nei, det kan vi ikke. Det ser du ved å sette inn i ligningen. Den generelle løsningen blir som jeg sa [tex]\vec{w} = \vec{v} + k \vec{u}[/tex], der k kan velges fritt.