matematikk.net

Hei

Jeg har trøbbel med å løse en oppgave knyttet til romfigurer.

Tre punkter er gitt: A(3,-1,2), B=(5,4,-1) og C(3,0,5). Videre ligger et punkt D slik at volumet av tetraedret er ABCD 100/3. Finn likningene til to plan der D må ligge.

Jeg skjønner såpass at planet er parallelt med planet som er bestemt av A, B og C. Altså er I9,-3,1I en normalvektor for planet. I tillegg må jeg kjenne et punkt i planet - det er vel D? Men hvordan finner jeg D? Jeg vet også at jeg kan finnet et uttrykk for volumet av tetraedret ved hjelp av volumprodukt og ved hjelp av formelen V=gh/3. Hvordan får jeg brukt dette? Jeg har gjort noen forsøk, men jeg bare surrer det til. Alle tips blir satt stor pris på!

Å bruke volumformelen er en god idé. Fra den kan du finne høyden i pyramiden, det vil si avstanden fra grunnflaten ABC og opp til D. Hvis du velger deg et hvilket som helst punkt på flaten ABC, er du med på at hvis du da legger til en konstant ganger normalvektoren så vil du få punktet D? Hva må den konstanten da være? (Lengden skal bli lik høyden).

beklager, jeg er fortsatt ikke helt med. Men jeg har funnet at h = 100/kvadratroten av 91

Ved hjelp av likningen [tex]h=100/G[/tex], der [tex]G[/tex] er arealet av trekanten [tex]ABC[/tex], kan du finne avstanden mellom planet [tex]\alpha[/tex]som går gjennom punktene [tex]A[/tex],[tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] og et plan [tex]\beta[/tex] som inneholder punktet [tex]D[/tex] (merk deg at [tex]D[/tex] er et vilkårlig punkt i planet [tex]\beta[/tex]).

Avstanden [tex]D[/tex] mellom disse to parallelle plan gitt ved likningene [tex]\alpha : ax + by + cz + d_1 = 0[/tex] og [tex]\beta: ax + by + cz + d_2 = 0[/tex] gitt ved formelen

[tex](1) \; D = \frac{\mid d_1-d_2\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.[/tex]

Ved å sette [tex]h=D[/tex] og bruke likningen for planet [tex]\alpha,[/tex] kan du finne [tex]d_2[/tex] vha. av (1), dvs. ved å løse likningen

[tex]\mid d_2 - d_1 \mid = h\sqrt{a^2+b^2+c^2}. [/tex]

Da får du to løsninger for [tex]d_2,[/tex] som igjen gir to plan [tex]\beta[/tex] som inneholder punktet [tex]D[/tex].

Ut fra opplysningene kan du finne høyden:

[tex]h=\frac{3V}{G}=\frac{3V}{\frac{1}{2}\vec{n}}[/tex]

Planet gjennom A,B,C er [tex]9x-3y+z-32=0[/tex]

Da vet du avstanden mellom planet gjennom A,B,C og planet hvor ligger punktet D. Du vet også at planene er parallelle, dvs. at de to etterspurte planene er gitt på formen:
[tex]9x-3y+z+d=0[/tex]

Finn ut når avstånden mellom de to plan er lik [tex]h[/tex]. Da får du to plan, et som ligger på den siden hvor normalvektoren peker, og et på den motsatte siden.

Edit:
Jeg var litt treg med svaret.

Jeg er kun kjent med avstandsformelen vi bruker for å finne avstanden mellom et plan og et punkt. Hvordan kommer man frem til at Id1 - d2I kan være teller i uttrykket?

Avstanden [tex]D[/tex] fra punktet [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] i planet [tex]\alpha[/tex] til planet [tex]\beta[/tex] er

[tex]D = \frac{\mid ax_1 + by_1 + cz_1 - d_2 \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.[/tex]

Ettersom planet [tex]\alpha[/tex] er gitt ved likningen [tex]ax + by + cz = d_1[/tex] og punktet [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] ligger i planet [tex]\alpha[/tex], må [tex]ax_1 + by_1 + cz_1=d_1[/tex]. Av formelen (1) følger at

[tex]D = \frac{\mid d_1 - d_2 \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.[/tex]

Fantastisk! Tusen takk

Jeg må bare spørre om en ting til:

Var det "metoden" til Solar Plexsus Vektormannen gav hint om, eller er dette et annet løsningsforslag? Lurer fælt på hvilken konstant det siktes til.

Går litt treigt oppi denne nøtta her, skjønner dere

Jeg kan godt forklare hvordan jeg ville fortsatt på den måten

Vi kan velge oss et hvilket som helst punkt i planet som grunnflaten ligger i, og så legge til en vektor som har lengde [tex]h[/tex] og som står normalt på grunnflaten. Da får vi et punkt som passer kravene til D. Da har vi et punkt i planet, samt en normalvektor, og kan finne ligningen.

For å gjør det enkelt kan vi ta A. For å komme til D må vi legge til en vektor som står normalt på grunnflaten, og som har lengde [tex]h[/tex]. Normalvektoren til grunnflaten er som du fant (jeg antar du ikke regnet feil) [tex]\vec{n} = [9,-3,1][/tex]. Denne vektoren har riktig retning, men nå må vi skalere den slik at den får lengde [tex]h[/tex]. Lengden av vektoren er [tex]|[9,-3,1]| = \sqrt{91}[/tex]. Vi ønsker en vektor [tex]\vec{AD} = k\vec{n}[/tex] i samme retning, som har lengde [tex]\frac{100}{\sqrt{91}}[/tex]. Vi må altså finne konstanten [tex]k[/tex] som gjør at [tex]|k[9,3,-1]| = \frac{100}{\sqrt{91}}[/tex]. Vi får [tex]|k[9,-3,1]| = |k| \cdot \sqrt{91}| = \frac{100}{\sqrt{91}} \ \Rightarrow \ k = \pm \frac{100}{91}[/tex]. Vektoren vi trenger for å gå fra A til D må altså være 100/91 ganger så lang som normalvektoren. Det blir to k-verdier (en positiv og en negativ), og det stemmer overens med at D kan ligge på den ene eller andre siden av grunnflaten.

Nå kan vi finne D: Vi får [tex]\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD} = \vec{OA} + k\vec{n} = [3,-1,2] + \frac{100}{91}[9,-3,1][/tex]. Dette gir koordinatene til D, og da er resten greit.

Metoden over gir to punkter. Er dette de eneste punktene som oppfyller kravene til D, eller finnes det flere?

I utledningen (hvis jeg har forstått riktig) står vektor AD vinkelrett på grunnflaten ABC. Linjestykket AD er da høyden i tetraedret. Hvis vi i stedet hadde tatt utgangspunkt i punkt B, hadde BD stått vinkelrett på grunnflaten. Da hadde vi kommet frem til to andre punkter som oppfyller kravene til D. Betyr det at det finnes uendelig mange punkt D?

Det er uendelig mange punkt D. Det du skal finne i oppgaven er to plan som alle slike punkt D må ligge i. I metoden ovenfor velger jeg meg et slikt punkt, og bruker så det til å finne planligningen til det planet som vil inneholde alle slike punkt.

Det er faktisk slik at de to planene blir nøyaktig de samme som du i stedet tar utgangspunkt i en annen grunnflate. Hvis du tenker at B er topp-punktet, så er trekant ACD grunnflaten, men det vi vil finne om vi regner da er at D faktisk må oppfylle akkurat de samme kravene -- dvs. ligge i et av de to planene vi finner med metodene ovenfor.

Hvis du har lyst til å prøve deg på dette kan du sette opp volumproduktet når du tenker at ACD er grunnflate og B er topp-punkt. Det gir en del regning, men det du vil ende opp med er en av to ligninger som x, y og z (koordinatene til D) må oppfylle, og det vil nettopp være de samme planligningene som ovenfor!

Takk, jeg ser det nå. Grunnen til at jeg ble forvirret er at jeg gjorde en slurvefeil da jeg skulle regne ut koordinatene til D ved hjelp av din metode.

Takker og bukker nok en gang for super hjelp.