matematikk.net

Hei

Jeg har et plan a hvor P er et punkt. Vektor n er en normalvektor for planet. Videre har vi et punkt Q som ikke ligger i a.

I tillegg til at jeg skal regne ut IQP * nI / InI, skal jeg tegne en figur som viser hva svaret betyr. Etter å ha tegnet planet a, samt punktene P og Q, står jeg fast. Jeg vet jo at utrykket over gir avstanden mellom Q og planet, men hvordan viser jeg dette?

Vi har at [tex]\frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{||\vec{QP}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \alpha|}{|\vec{n}|} = |\vec{QP}| \cdot |\cos \alpha|[/tex], der [tex]\alpha[/tex] er vinkelen mellom [tex]\vec{QP}[/tex] og [tex]\vec{n}[/tex]. Er du med på det? Hvis du tenker på en rettvinklet trekant med QP som hypotenus, hvilken katet vil da [tex]|\vec{QP}| \cdot |\cos \alpha|[/tex] gi?

Den korteste kateten i trekanten - som er avstanden fra P til planet.

HåpløsSOS skrev:I tillegg har jeg problemer med nok en utledning:

Bruk den trigonometriske formelen cos^2v + sin^2v = 1 til å vise at
x = r cos u * cos v
y = r cos u * sin v
z = sin u

Her vet jeg ikke engang hvor jeg skal begynne.

Har du noen tips til hvordan jeg løser denne oppgaven, Vektormannen?

Er det akkurat slik oppgaven er formulert? Det er jo ikke forklart noe om hva r, u og v er, for eksempel.

Det du har her er vel uansett kulekoordinatene til et punkt P(x,y,z), når vi måler vinkelen u mellom vektoren OP og xy-planet, og vinkelen v mellom projeksjonen av OP i xy-planet og x-aksen. Hvis du tegner opp dette så kan du da se at x, y og z kan beskrives på den måten. Denne figuren kan være til hjelp: link (Her svarer vinkelen [tex]\theta[/tex] til v og [tex]\phi[/tex] svarer til u men er her vinkelen mellom vektoren og z-aksen i stedet.)

Jeg lurer egentlig litt på hva de i oppgaven egentlig mener at du skal gjøre. Det jeg legger opp til ovenfor vil ikke bruke at [tex]\cos^2 v + \sin^2 v = 1[/tex]. Det kan være det er meningen at du skal vise at x, y og z, gitt slik de er, passer inn med at (x,y,z) har avstand r fra origo; altså at du bare skal vise at [tex]x^2 + y^2 + z^2 = r^2[/tex]. Som sagt, er det akkurat slik oppgaven er skrevet?

Beklager så mye, store deler av oppgaveteksten er visst blitt utelatt. Dette skal være riktig:

Bruk den trigonometriske formelen cos^2v + sin^2v = 1 til å vise at at parameterfremstillingen

x = r cos u * cos v
y = r cos u * sin v
z = sin u

gir likningen x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Da tar du og ser hva [tex]x^2 + y^2 + z^2[/tex] blir da. (Det må være en eller annen opplysning som gir at r = 1, for hvis ikke så vil den summen bli [tex]r^2[/tex] og ikke 1.)

Kan jeg få et tips til?

Jeg får r2 * cos^2 u * cos^2 v + r^2 * cos^2 u * sin^2 v + sin^2 u. Hvordan kommer jeg videre? Hadde satt stor pris på nok et hint.

Du kan enten droppe r (siden den tydeligvis er 1), eller så må du ha med r i z-komponenten også (hvis det ikke står z = r sin u så tror jeg det må være en skrivefeil.)

Hvis du ser på [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] så har du der en felles faktor [tex]r^2[/tex] og [tex]\cos^2 u[/tex]. Hva står igjen når du faktoriserer det ut fra de to leddene?

Da står jeg igjen med r^2 * cos^2 u + r sin^2 u. Hva gjør jeg med r? Kan jeg sette r = 1 sånn uten videre?

Hva blir [tex]r^2 \cos^2 u + r^2 \sin^2 u[/tex] da?

Når det gjelder å sette r = 1 så må det som sagt være en eller annen opplysning som enten sier eller impliserer at r = 1 i oppgaven. Du sier jo at du skal vise/komme frem til [tex]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/tex], men da må r = 1. (Eller har du skrevet feil? )

Herregud, nå har jeg skrevet feil igjen. Jeg skal frem til X^2 + Y^2 + z^2 = r^2. Altså er jeg i mål!

Tusen takk for din tålmodighet.