matematikk.net

Hei

Jeg skal bestemme parameterverdiene u og v for punktet P(-1,-1,-1) i kuleflaten med sentrum i origo. Parameterfremstillingen jeg har kommet frem til er

x = kvadratroten av 3 * cos u * cos v
y = kvadratroten av 3 * cos u * sin v
z = kvadratroten av 3 * sin u

Jeg har funnet at u = -35, 3 grader, men v har jeg problemer med å finne. Uttrykket for x har gitt meg likningen

-1 = kvadratroten av 3 * cos -35,3 * cos v

Dette gir v = 135, 0 grader, men fasiten gir svaret 225 grader. Jeg vet jo at 360 - 135 = 225, men forstår ikke hvorfor jeg må trekke "mitt svar" fra 360 grader.

Husk at ligningen [tex]\cos v = k[/tex] har to løsninger innenfor et omløp i enhetssirkelen. Hvis v er en løsning så er [tex]360^\circ - v[/tex] og så en løsning, siden [tex]\cos(360^\circ - v) = \cos(-v) = \cos v[/tex].

Hvilken av de to løsningene som blir den riktige må du vurdere ut fra hvor punktet ligger. Husk at vinkelen v her er vinkelen mellom positiv x-akse og projeksjonen av OP ned i xy-planet. Hvis du tegner en figur så tror jeg det hele blir litt klarere.

Har du noen forslag om hvor jeg kan lese mer om dette? I tidligere læreboker fnner jeg bare definisjonen av cosinus og sinus ved enhetssirkelen.

Jeg burde vel også kunne finne v ved å bruke

v = arctan (y/x) = arctan 1 = 45 grader

Her må jeg trekke svaret fra 270. Hvorfor?

Hvis du googler "spherical coordinates" så finner du en god del.

Når du finner v slik du foreslår her så finner du ikke vinkelen helt fra positiv x-akse og til vektoren [tex][-1,-1,0][/tex], er du med på det? For å finne den må du ta hensyn til at (-1,-1,0) ligger i tredje kvadrant i xy-planet. Vinkelen mellom positiv og negativ x-akse er 180 grader. Vinkelen videre fra negativ x-akse til vektoren [tex][-1,-1,0][/tex] er som du fant 45 grader. Til sammen er vinkelen mellom den vektoren og positiv x-akse da 225 grader. Alt dette blir tydeligere om du tegner en figur tror jeg (noe sånt: link.)

Tusen takk for hjelpen.