matematikk.net

Samme problem som postet her for en stund siden:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=28143

[tex]a_i = \frac {1}{i^2} - \frac {1}{(i+1)^2}[/tex]

Vis at summen av de n første leddene er gitt ved

[tex]s_n = 1 - \frac {1}{(n+1)^2}[/tex]

Her forutsettes det at vi ikke kan bruke induksjonsbevis, summen for geometriske og aritmetiske rekker, dersom det kunne hjelpe oss.

Jeg tenkte kanskje den kunne bevises ved å anta at den var feil, men ved å vise at V.S. = H.S., f. eks. :

[tex]a_1 = s_1[/tex], og at [tex]a_1 + a_{1+1} = s_2[/tex] ?

Prøv å regne ut for eksempel [tex]s_5[/tex]. Ser du at det skjer noen koselige kanselleringer? Så generaliserer du dette til en sum med n ledd.

Du kan vel se direkte at ethvert annet ledd enn det første og siste vil bli strøket? Om du skriver opp de første leddene vil det bli klart at det positive leddet i [tex]a_{i+1}[/tex] vil gå mot det negative i [tex]a_i[/tex]

Da dette åpenbart ikke vil skje for [tex]a_n[/tex] vil det siste negative leddet blir stående. I tillegg vil vi ha igjen det første positive leddet, summen av dette vil da bli:

[tex]1-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Regnte på det svinepels sa i spisepausen, så fikk jeg det til =)

Takk for hjelp!