matematikk.net

Anne fant et revespor. Etter at hun hadde gjort en del registreringer, fant hun ut at reven hadde fulgt grafen til [tex]\vec{r}(t)=[t^3-t,3t^2+1][/tex]. Revesporet går to ganger gjennom samme punkt. Bestem koordinatene til dette punktet.

Hvordan kan man regne ut dette? Jeg forstår at det må være to punkter [tex](x_{1},y_{1})[/tex] og [tex](x_{2},y_{2})[/tex] der [tex]x_{1}=x_{2}[/tex] og [tex]y_{1}=y_{2}[/tex] for to ulike t-verdier.

Takker!

alexleta skrev:Anne fant et revespor. Etter at hun hadde gjort en del registreringer, fant hun ut at reven hadde fulgt grafen til [tex]\vec{r}(t)=[t^3-t,3t^2+1][/tex]. Revesporet går to ganger gjennom samme punkt. Bestem koordinatene til dette punktet.

Hvordan kan man regne ut dette? Jeg forstår at det må være to punkter [tex](x_{1},y_{1})[/tex] og [tex](x_{2},y_{2})[/tex] der [tex]x_{1}=x_{2}[/tex] og [tex]y_{1}=y_{2}[/tex] for to ulike t-verdier.

Takker!

Hvis du setter t^3-t=0, så får du tre løsninger til den, sett dem inn i 3t^2+1, to av løsningene til ligningen for x vil da gi samme verdi av y.

Eller hvis du regner ut noen verdier fra og med t=-1 og opp til og med t=1, og så tegner figur, vil du se hvilket punkt reven har gått gjennom to ganger.

men nå har du på en måte "gjettet"/forutsatt at x-koordinaten skal være 0. Er det noen måter å gjøre det på uten å gjette seg fram til verdier?

x=0 er en triviell løsning. Du setter r (t+d) = r (t). Linkn jeg postet over viser løsningen på likningene du får

Kall de to parameterverdiene hvor x og y har samme koordinater to ganger for [tex]t_1[/tex] og [tex]t_2[/tex]. Da skal

[tex]t_1^3 - t_1 = t_2^3 - t_2[/tex]
[tex]3t_1^2+1 = 3t_2^2+1[/tex]

Fra den nederste ligningen ser vi at [tex]t_1^2 = t_2^2 \ \Leftrightarrow \ t_1 = \pm t_2[/tex] (trekk fra / stryk bort 1 på begge sider og del på 3). Det er utelukket at [tex]t_1 = t_2[/tex], for da har vi samme parameter, så vi ser altså at [tex]t_1 = -t_2[/tex]. Da vet vi altså at parameterne har samme tallverdi, men motsatt fortegn.

Setter vi dette inn i den øverste så får vi:

[tex]-t_2^3 - (-t_2) = t_2^3 - t_2[/tex]

Tar du resten da?