sum sin og cos

[Gjest]

funksjonen f er gitt ved

f(x) = 2[rot][/rot]3sin([pi][/pi]x)-2cos([pi][/pi]x) , x [sigma][/sigma]<0,2>

a) skriv f(x) på formen asin(kx+ø)

b) Løs likningen f(x) = 2 ved regning.

(PS: ø-en i a) skal være vinkel, fant ikke noe bedre tegn)

er takknemlig for alle svar =)

[Solar Plexsus]

A) Vha. av formelen sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v får vi at

a sin(kx + φ) = a cos φ sin(kx) + a sin φ cos(kx).

Vi ser at for at f(x) = 2[rot][/rot]3 sin([pi][/pi]x) - 2 cos([pi][/pi]x) skal kunne skrives på formen a sin(kx + φ), må k=[pi][/pi],
a cos φ = 2[rot][/rot]3 og a sin φ = -2. Altså vil (a sin φ) / (a cos φ) = -2 / (2[rot][/rot]3), dvs. at tan φ = -1/[rot][/rot]3. En løsning av denne likningen er φ = -[pi][/pi]/6, som igjen gir a = -2/sin(-[pi][/pi]/6) = -2/(-0,5) = 4. M.a.o. er

f(x) = 4 sin([pi][/pi]x - ([pi][/pi]/6)).

B) Likningen f(x)=2 er ekvivalent med

4 sin([pi][/pi]x - ([pi][/pi]/6)) = 2

sin([pi][/pi]x - ([pi][/pi]/6)) = 1/2

[pi][/pi]x - ([pi][/pi]/6) = ([pi][/pi]/6) + 2k[pi][/pi] eller [pi][/pi]x - ([pi][/pi]/6) = (5[pi][/pi]/6) + 2m[pi][/pi] der k og m er vilkårlige heltall

x=(1/3) + 2k eller x= 1 + 2m.

Ettersom 0<x<2, må k=m=0. Så ligningen f(x)=2 har to løsninger, nemlig x=1/3 og x=1.