matematikk.net

Oppgaven er En vektorfunksjon er gitt ved r(t)=[t^2+2,9t-t^3]

Kurva har et dobbelpunkt som svarer til to ulike t-verdier. Finn disse t verdiene.

Tenker at man kan løse den ved å lage to ligningsett der

t^2+2=s^2+2 og samtidig 9t-t^3=9s-s^3

t^2+2-(s^2+2)=0 og at (2-(s^2+2))=c leddet i ax^2+bx+c ? Er jeg inne på noe ?, noen andre forslag ?

Det er en bra start.

Bruk disse to likningssettene:
(1) t^2 + 2 = s^2 + 2 og (2) 9t - t^3 = 9s - s^3
(1) gir t^2 - s^2 = 0 => (t+s)(t-s)=0 => t = s eller t= -s
Sett inn i (2). t = s gir 0 = 0 (trivielt), mens t = -s gir:
(-s)^3 -s^3 -9(-s) + 9s = 0 => s^3 - 9s = 0 => s(s+3)(s-3) = 0
s = 0 eller s = 3 eller s= -3.
Sett disse tre t-verdiene inn i r(t):
r(t=0) = (2,0)
r(t=3) = (11, 0)
r(t=-3) = (11, 0)
så kurven har et dobbelpunkt i (11,0).

Jepp fikk det til Hva betyr den løsningen der t=0 altså punktet (2,0) ?

Hvis du ser på r(t)=[t[sup]2[/sup]+2,9t-t[sup]3[/sup]] som ((x(t), y(t))
så er y(t) et tredjegradspolynom, derfor har det tre røtter. Her er kun to av disse involvert i dobbeltpunktet. Den tredje rota gir samme verdi y(t)=0 som de to andre, men har ellers ingen relavans i dette problemet.

Du kan grafe den parametriske kurven vha Graph (eller Geogrbra)
Graph kan lastes ned her: http://www.padowan.dk/download/
så ser du det bedre.