matematikk.net

Sitter med en oppgave som jeg trenger litt hjelp til:

[tex]f(x)=ln\,(x^2-1)[/tex]

Først spør oppgaven om at jeg skal bestemme den største definisjonsmengden som f kan ha. Ifølge fasiten så er riktig svar:

[tex]x \in <\leftarrow,\,1> U <1, \rightarrow>[/tex]

Selv trodde jeg at både -1 og 1 ikke kunne brukes, da begge disse vel vil gi 0 inne i parentesen?

Det andre jeg lurer på er oppgave b), som ber meg finne de vertikale asymptotene til funksjonen. Her er jeg også ganske lost. Må det ikke være en polynomfunksjon over en annen polynomfunksjon for at det skal finnes vertikale asymptoter?

Du har delvis rett i det med definisjonsmengden. Men husk at negative tall heller ikke kan være argument for ln-funksjonen. Det betyr at vi bare kan sette inn x-verdier som er mindre enn -1 eller større enn 1.

Altså, [tex]D_f = (-\infty,-1)\cup(1,\infty)[/tex]

En annen måte å si dette å sette kravet at [tex]|x|>1[/tex]

Og nei, vertikale asymptoter er ikke reservert for polynom-brøker. Denne grafen har faktisk to stk.

Se hva som skjer hvis [tex]x\to 1[/tex]. Det samme skjer også for [tex]x\to -1[/tex]

Ja, det var det jeg mente, at man kun kan sette inn x-verdier som enten er mindre enn -1 eller større enn 1. Men i svaret som boka gir (som står i åpningsinnlegget), så er vel også -1 en mulighet? Kan det bare være en trykkfeil? Siden du har satt et minustegn foran det første ett-tallet.

Men er det en måte å regne ut den vertikale asymptoten? Eller er jeg bare nødt til å teste forskjellige verdier av x, for så å finne det ut selv? Jeg husker ærlig talt bare den måten å finne asymptoter på hvor jeg har en rasjonal funksjon [tex]f(x)\,=\,\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex], der P(x) ikke kan være null, men der Q(x)=0.

På forhånd takk

Ja, og når du drøfter polynombrøker, så ser du etter verdier som er "ulovlige". Altså x-verdier som gir deling på null.

Nå vet du jo hvilke verdier som er ulovlige for denne logaritmefunksjonen, og du vet at de første ulovlige verdiene er -1 og 1.

Dette forteller oss nøyaktig hvor de ligger.

Vi vet at alt over 1 er lovlig, og gjør derfor følgende:

[tex]lim_{x\to 1^+}f(x)[/tex] og ser hva vi får. Merk at vi går mot 1 fra høyre side (som vi indikerer med +tegnet.

Ser du hva som skjer?

Jepp, jo nærmere x kommer 1 eller -1, jo høyere blir funksjonsverdien (den går mot en uendelig verdi, dess nærmere 1 eller -1 jeg setter x-verdien?)

Men holder det på en eksamen f.eks. å bare vise at funksjonen går mot pluss eller minus uendelig ved å sette inn lim osv.? Eller må jeg regne det ut på noen måte?

Det er ganske lett å regne det ut.

Hvis du regner ut følgende på kalkis:

x=1.1

x=1.01

x=1.001

Så vil du se mønsteret, at funksjonen går mot minus uendelig.

Ok, takk for gode svar!