matematikk.net

Hei,

Jeg har kommet borti en ligning som egentlig ligger litt over mitt eget mattenivå, som jeg ikke klarer å løse riktig.

Ligningen ser slik ut:




Så gjør jeg slik i første omgang:



Men når jeg så prøver å bruke logaritme på begge sider (for å "flytte" eksponenten på venstresiden) så går det fullstendig galt på venstresiden. Jeg har prøvd å lese meg opp på regneregler ved logaritmer, men dette får jeg rett og slett ikke til.

Jeg hadde vært svært takknemlig om noen av forumets svært kunnskapsrike medlemmer kunne vist meg steg for steg hvordan denne ligningen skal løses.

Takk på forhånd!

Mvh,

Kenneth

Jeg tror denne likningen skal løses ved rett og slett se at x = 0 må være en løsning. Du blir da stående med 220000 = 220000, og dermed er x = 0 en løsning

Etter du har funnet at x = 0 er en løsning kan du også vise at dette er den eneste løsning, noe du kan gjøre ved å derivere begge sider og se at den ene har høyere stigningstall for alle x>0 enn den andre, og de vil dermed aldri være like igjen. Det samme gjøres for x<0.

Tusen takk for svar!

Det høres meget fornuftig ut det du skriver, men det merkelige er at når jeg bruker "equation solver"-funksjonen på kalkulatoren min så får jeg x = 9.42. Når jeg løser den grafisk på kalkulatoren får jeg to krysningspunkter, det ene der X=0 og det andre der X=9.42 .

Dette ligger visst for høyt for meg, dette her - jeg holder kun på med matematikk til generell studiekompetanse og dette ligger utenfor pensum. I oppgaven fikk vi bare beskjed om å finne ut når to funksjoner møter hverandre igjen etter hvor de starter (det er disse funksjonene som er på hver sin side av likhetstegnet) - og ifølge fasiten skal svaret være X=9.4 - dette skulle vi kun løse grafisk (det er ingen regning med logaritmer i 1P/2P som er minstekravet for studiekompetanse), men jeg tenkte jeg skulle se om jeg fikk det til via regning - noe jeg ikke kunne finne ut av.

Mvh,

Kenneth

Etter du har funnet at x = 0 er en løsning kan du også vise at dette er den eneste løsning, noe du kan gjøre ved å derivere begge sider og se at den ene har høyere stigningstall for alle x>0 enn den andre, og de vil dermed aldri være like igjen. Det samme gjøres for x<0.

Den deriverte er ikke større for alle x>0. For x=1 er den deriverte av venstresiden for eksempel 10120, mens høyre siden alltid er 12000. Senere, for x=5 er den deriverte av venstresiden lik 12068, mens venstresiden fortsatt er 12000. Med utgangspunkt i dette kan vi dermed konkludere med at de vil møtes én gang etter for x>0, siden den deriverte av venstresiden øker eksponentielt.

x = 9,42 er ikke en løsning av likninga. Det er lett å verifisere ved å sette inn x = 9,42. Venstresiden blir da ca 33304,133... mens høyresiden blir 135040.

Det skyldes muligens en feilinntasting på kalkulatoren, eller feil i gjengivelse av oppgaven. Det ville være en løsning hvis det var 1200x i stedet for 12000x.

EirFyh's eminente resonement om forløpet for de derivert inspirerte meg til å søke etter en numerisk løsning forskjellig fra x = 0.

Denne ligger et sted i dette intervallet: 88,556945 < x < 88,556946
som vi kan avrunde til 88,557 siden det er samme presisjon som benyttes i grunntallet 1,045.

Endret:
Ops...Det er jeg som har blinkset. Jeg har brukt 22.000 i stedet for 220.000, og det har jeg til og med gjort på to steder. På tide med nye briller.

x = 9,42 er ikke en løsning av likninga. Det er lett å verifisere ved å sette inn x = 9,42. Venstresiden blir da ca 33304,133... mens høyresiden blir 135040.

Det skyldes muligens en feilinntasting på kalkulatoren. Det ville være en løsning hvis du tastet inn 1200x i stedet for 12000x.

EirFyh's eminente resonement om forløpet for de derivert inspirerte meg til å søke etter en numerisk løsning forskjellig fra x = 0.

Denne ligger et sted i dette intervallet: 88,556 < x < 88,557

Er du sikker på at du har brukt riktig antall nuller her? Dersom jeg setter inn tallene i kalkulatoren min, får jeg nemlig:

[tex]VS: 220000 * 1,045^9,42[/tex] [symbol:tilnaermet] [tex]333041 [/tex]

[tex]HS: 220000 + 12000 * 9,42 = 333040[/tex]

For å være på den sikre siden satt jeg også venstreside og høyreside inn i en graf for å løse det grafisk. Da fikk jeg at for
[tex]f(x)= 220000 * 1,045^x [/tex]
og
[tex]g(x) = 220000 + 12000x[/tex]
fikk jeg et kryssningspunkt for x [symbol:tilnaermet] 9,42.

Dersom jeg derimot satte inn
[tex]f(x)= 220000 * 1,045^x [/tex]
og
[tex]g(x) = 220000 + 120000x[/tex]
altså en ekstra 0 etter 12000, fikk jeg et krysningspunkt for x [symbol:tilnaermet] 88,6

På slike oppgaver er det meningen å bruke kalkulator ja =)
Da løsningen av slike likninger må tilnærmes og er ikke mulig å løses eksakt ved hjelp av vanlige matematiske funksjoner. Trikset
er å bruke kalkulator, og lage en tegning for å finne nullpunktene. Eksempelvis via geogebra. Det er mulig å uttrykke løsningen ved hjelp av LambertW funksjonen, men dette er noe vanskelig grunnet konstantleddet på høyre siden.

Det enkleste om du ønsker å finne ut av hva som er best av prosentvis rente og konstant pengestrøm er nok å spørre en økonom... Men vil du regne på det er nok newtons tilnærmingsmetode veien å gå. Dette er på ingen måte pensum på videregående men mer en smakebit på senere matematikk.

Anta at f(x) er en deriverbar funksjon og at den har minst et nullpunkt og oppfører seg anstendig i et omhegn omkring et punkt a.
Dersom vi antar at [tex]x \, = \, x_0[/tex] er en tinærming, altså et greit anslag for nullpunktet så er

[tex]x_1 \, = \, x \, - \frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}[/tex]

en bedre tilnærming. Ved å bruke metoden ovenfor gjentatte ganger vil en få en bedre og bedre tilnærming for nullpunktet. Altså at

[tex]x_{n+1} \, = \, x_n \, - \, \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}[/tex]

Illustrert i påfølgende figur



Ofte er det greit og innføre en hjelpefunksjon g, bruker en dine tall definerer jeg

[tex]f(x) = 22\cdot 10^4 \cdot a^x - 12 \cdot 10^3 - 22 \cdot 10^4[/tex]

og videre

[tex]g(x) = x - \frac{f(x)}{f^\prime(x)} = x - \frac{55 \cdot a^x - 55 - 3x}{ 55 a^x \ln(a) - 3 }[/tex]

hvor [tex]a = 1.045[/tex]. Ut i fra figur eller vill og hemningsløs tipping så er
antar jeg at nullpunktet er ca [tex]10[/tex], og setter inn i [tex]g(x)[/tex].

[tex]g(10) \approx 9.455894097[/tex]

[tex]g(9.455894097) \, \approx \, 9.419658007[/tex]

[tex]g(9.419658007) \, \approx \, 9.419498562[/tex]

[tex]g(9.419498562) \, \approx \, 9.419498547[/tex]

[tex]g(9.419498547) \, \approx \, 9.419498532[/tex]

[tex]g(9.419498532) \, \approx \, 9.419498532[/tex]

Og da har vi funnet nullpunktet med [tex]10[/tex] desimalers nøyaktighet.