Integrasjon, delvis

[Adams]

Har en her jeg ikke får til, er som følgende

[itgl][/itgl] cos(lnx) dx

[Solar Plexsus]

Sett u=ln x. Denne substitusjonen gir x=e[sup]u[/sup] og du/dx=1/x, dvs. at dx=x du=e[sup]u [/sup]du. Dette medfører igjen at

[itgl][/itgl] cos(ln x) dx

= [itgl][/itgl] e[sup]u[/sup] cos u du (bruker delvis integrasjon) (*)

= e[sup]u[/sup] cos u + [itgl][/itgl] e[sup]u[/sup] sin u du (anvender delvis integrasjon en gang til)

= e[sup]u[/sup] cos u + ( e[sup]u[/sup] sin u - [itgl][/itgl] e[sup]u[/sup] cos u du )

= e[sup]u[/sup] (cos u + sin u) - [itgl][/itgl] e[sup]u[/sup] cos u du.

Ved å sammenlikne den siste linje med linjen merket *, innser vi at

[itgl][/itgl] e[sup]u[/sup] cos u du = e[sup]u[/sup] (cos u + sin u)/2 + C

der C er en vilkårlig konstant. Ergo blir

[itgl][/itgl] cos(ln x) dx = e[sup]u[/sup] (cos u + sin u)/2 + C = x [cos(ln x) + sin(ln x)]/2 + C.