matematikk.net

Et vanlig bevis for at [tex]\sqrt{2}[/tex] er et irrasjonelt tall er å først anta at tallet kan skrives som en forkortet brøk [tex]\frac{a}{b}[/tex]. Da har jeg følgende

[tex]\sqrt{2}=\frac{a}{b}[/tex]

[tex]2=\frac{a^{2}}{b^{2}}[/tex]

[tex]2b^{2}=a^2[/tex]

[tex]2b^2[/tex] er et partall ettersom det inneholder faktoren [tex]2[/tex] og [tex]b[/tex] er et heltall. Videre blir også [tex]a^2[/tex] et partall. Neste steg i beviset går ut på at [tex]a[/tex] i seg selv også er et partall. Jeg forstår imidlertid ikke hvorfor "Hvis kvadratet av et tall er partall, er også tallet er partall". Andre veien går det greit ("Hvis et tall er partall, er kvadratet også et partall"), det kan jeg vise slik:

[tex](2n)^2=4n^2=2(2n^2)=partall[/tex]

Hvis jeg for eksempel ser på tallet [tex]\sqrt{6}[/tex], så er kvadratet av dette tallet et partall ([tex]6[/tex]), men [tex]\sqrt{6}[/tex] er jo ikke det. Mener derfor påstanden er feil. (Dette har kanskje noe å gjøre med at [tex]a\neq \sqrt{6}[/tex] fordi [tex]a[/tex] er et heltall?)

Fant påstanden over blant annet her (nummer 2 under "merk"): http://realisten.com/smf/index.php?topic=20.0
På Wikipedia står bare at "Siden da også [tex]a^2[/tex] er et partall, er [tex]a[/tex] et partall: http://no.wikipedia.org/wiki/Kvadratroten_av_2

Påstanden "dersom $a^2$ er et partall, så er $a$ et partall" er jo ikke alltid sann. Men når du driver med dette beviset, så innleder du med å si at $a$ er et heltall. Med det premisset, så er påstanden sann.

Fra likninga $2b^2 = a^2$ er det derfor også sant at $a^2$ er et partall, som medfører at $a$ er et partall, og $b$ er et partall, som motbeviser premisset, fordi da kan ikke $a/b$ sies å være en forkortet brøk lengre. Du har da motbevist påstanden om at $\sqrt2$ er rasjonalt.

Hvis jeg forstår deg rett lurer du på hvorfor det er slik at dersom [tex]a^2[/tex] er partall så er [tex]a[/tex] et partall. (Her er det underforstått at [tex]a[/tex] er et heltall. Begrepet partall gir ikke mening for vilkårlige reelle tall.)

For å vise dette kan man føre et kontrapositivt bevis. Vi vil vise at [tex]a^2[/tex] partall [tex]\Rightarrow a[/tex] partall. Da er det ekvivalent å vise at [tex]a[/tex] ikke partall [tex]\Rightarrow a^2[/tex] ikke partall. Som igjen er det samme som [tex]a[/tex] oddetall [tex]\Rightarrow a^2[/tex] oddetall.

Vi viser den siste påstanden. Siden [tex]a[/tex] er odde så er [tex]a = 2k+1[/tex] for en passende [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]. Følgelig er [tex]a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) +1 = 2k' +1.[/tex] Så [tex]a^2[/tex] er selv odde.