Spørsmål om potenser og rotuttrykk

[matstud]

Hei!

Vurderer å melde meg opp som privatist i matematikk R1 og R2 til høsten, og går derfor gjennom T1 pensum nå i sommer for å få litt oversikt. Kom over et par kuriositeter på løsningsforslagene her: http://2013.arkiv.ndla.no/nb/node/4796?fag=54

Mitt første spørsmål er om det er en generell regel at [tex]\sqrt{a^{3}}=a\sqrt{a}[/tex] slik det er brukt i løsningsforslaget til oppgave 6a og 6b.

Mitt andre spørsmål er hva som er årsaken til at svaret på oppgave 7d skrives som [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Jeg stoppet i leddet før, med [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].

Mvh Espen

[Vektormannen]

Velkommen!

Det første: Ja, det stemmer. Det følger av at [tex]\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}[/tex] (mer generelt: [tex]\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}[/tex]) og at [tex]x^a \cdot x^b = x^{a+b}[/tex]. Ser du hvordan?

Det andre: Svaret ditt er i og for seg riktig det. For å komme til det oppgitte svaret ganger vi med [tex]\sqrt 2[/tex] i teller og nevner. Det er på sett og vis en smakssak, men man foretrekker ofte å bli kvitt røtter i nevnerne (det kan f.eks. ha den fordelen at [tex]\sqrt 2 / 2[/tex] er et mye enklere regnestykke enn [tex]1/\sqrt 2[/tex].)

[matstud]

Velkommen!

Det første: Ja, det stemmer. Det følger av at [tex]\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}[/tex] (mer generelt: [tex]\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}[/tex]) og at [tex]x^a \cdot x^b = x^{a+b}[/tex]. Ser du hvordan?

Jepp, tenkte litt mer på det selv også, og husket regelen om at [tex]\sqrt{x^{2}}=x[/tex], så da er det vel mulig å trekke ut dette fra en kvadratrot i tredje potens, og sitte igjen med en enkel [tex]\sqrt{x}[/tex]. Bare av nysgjerrighet... vil det si at [tex]\sqrt[3]{x^{4}}=x\sqrt{x}[/tex]?

Det andre: Svaret ditt er i og for seg riktig det. For å komme til det oppgitte svaret ganger vi med [tex]\sqrt 2[/tex] i teller og nevner. Det er på sett og vis en smakssak, men man foretrekker ofte å bli kvitt røtter i nevnerne (det kan f.eks. ha den fordelen at [tex]\sqrt 2 / 2[/tex] er et mye enklere regnestykke enn [tex]1/\sqrt 2[/tex].)

Hvorfor er det et mye enklere regnestykke? Jeg trodde at kvadratroten av 2 var like vanskelig å jobbe med uansett om den står i teller eller nevner?

Tusen takk for hjelp!

E.

[Pjolter]

Grunnen til at [tex]\sqrt2/2[/tex] er "lettere" enn [tex]1/\sqrt2[/tex] er at i begge stykkene må man ha [tex]\sqrt2[/tex], men i det første deler man dette på [tex]2[/tex] mens i det andre må man finne [tex]1[/tex] delt på [tex]\sqrt2[/tex], også kjent som multiplikativ invers ([tex]\sqrt2^{-1}[/tex]). Generelt er det enklere å dele et tall på [tex]2[/tex] enn å dele [tex]1[/tex] på tallet.

Eksempelvis er [tex]7/2 = 3.5[/tex] og det er lett å se, men [tex]1/7 = 0.\overline{142857}[/tex]. (Streken over tallene betyr at desimalene gjentar seg i det uendelige.)

En tenkt situasjon kan være at du ikke har en kalkulator for hånden, men du har en approksimasjon av [tex]\sqrt2[/tex] tilgjengelig (evt. at du er mer enn gjennomsnittelig opptatt av diverse matematiske konstanter og kan x antall desimaler av [tex]\sqrt2[/tex] ). Da er lettere å regne ut [tex]\sqrt2/2[/tex] enn [tex]1/\sqrt2[/tex].

[Determined]

Jepp, tenkte litt mer på det selv også, og husket regelen om at [tex]\sqrt{x^{2}}=x[/tex], så da er det vel mulig å trekke ut dette fra en kvadratrot i tredje potens, og sitte igjen med en enkel [tex]\sqrt{x}[/tex]. Bare av nysgjerrighet... vil det si at [tex]\sqrt[3]{x^{4}}=x\sqrt{x}[/tex]?

Nei, $\sqrt[3]{x^4} = x \sqrt[3]{x}$... tenk over hva $\frac{4}{3}$ kan skrives om til.