Derivasjonsproblem

[mentalitet]

f(x)=x2+kx+m for x<0 14tan(10x)+10cos(3x) for x≥0
Definer konstantene k og m slik at er deriverbar i x=0. Veldig usikker på hva jeg kan gjøre, men jeg kan vel finne k og m slik at funksjonen blir kontinuerlig, ergo deriverbar..? Eller?

[Vektormannen]

En kontinuerlig funksjon trenger ikke å være deriverbar. Standardeksempelet på det er f(x) = |x|, som er kontinuerlig, men ikke deriverbar i x = 0. Det som derimot er riktig er at en deriverbar funksjon også må være kontinuerlig, så du er inne på riktig spor. Hva får du om du setter opp hva det vil si at funksjonen skal være kontinuerlig i x = 0?

Videre må du benytte deg av det at den skal være deriverbar. Da vet du at grenseverdien i definisjonen av den deriverte skal eksistere, ikke sant?

[mentalitet]

Hmm. Grenseverdien(når x->0) av de to deriverte uttrykkene må være lik, eller..?
Isåfall: Når den deriverte av 14tan(10x)+10cos(3x) ->0 blir grenseverdien 140. Da må vel grenseverdien av x^2+kx+m derivert også nærme seg 140? Ergo k=140..?

[Vektormannen]

Det ser ut til å stemme ja. For å finne m kan du som sagt bruke at den skal være kontinuerlig.

[mentalitet]

Usikker på om dette blir rett, men: grafen skal jo være kontinuerlig i punktet x=0, og når jeg setter x=0 inn i funksjonen for x≥0, får jeg f(x)=10. Da kan jeg sette 10=0^2+140*0+m. m=10?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Hvis m er noe annet enn 10 så blir jo grensen fra venstre forskjellig fra 10, mens grensen fra høyre blir 10.

[mentalitet]

Okei, tusen takk! dog litt usikker på om jeg skjønte det siste der?

[Vektormannen]

Kontinuerlig vil si at grenseverdien fra venstre (altså når x nærmer seg 0 fra negativ side) skal være lik grenseverdien fra høyre, og lik funksjonsverdien i x = 0. Altså:

[tex]\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 + kx + m = m[/tex],

og

[tex]\lim_{x \to 0^+} f(x) = 14 \tan(10x) + 10 \cos (3x) = 10[/tex].

Siden funksjonen skal være kontinuerlig, må disse to være like (og lik funksjonsverdien, som er 10), altså må m = 10.

[mentalitet]

Selvsagt! TAkk skal du ha