derivasjon 2

[Gjest]

Spørsmålet blir vel: Kan en finne den verdien for en funksjon som er nærmest null ved hjelp av derivasjon???

[ettam]

...verdien for en funksjon som er nærmest null ved hjelp av derivasjon???

I Newtons metode brukes den deriverte til å finne nullpunkter...

I denne metoden finner man x-verdien der funksjonen er lik null, så det er kanskje ikke helt det du tenker på?

(Har du læreboka: "Sinus 3MX" finner du Newtons metode på side 154-159).

[ingentingg]

Ja det går fint det.
Viss du parameteriserer funksjonen din vha t.

eks:

y= 5 + x

y = 5+t
x = t

Du lager så et ytrykk for avstanden vha hjelp av vektoren:

[x,y] lengden av denne vektoren er da gitt som (x^2+y^2)^(1/2)

Dette uttrykket kan du så minimere ved å derivere x^2+y^2. (så slepper du rotuttrykket).

I eksempelet blir det:

x^2 + y^2 = t^2 + 25 + 10t + t^2 = 2t^2 + 10t + 25
Den deriverte blir:

4t + 10 som gir t = -2,5 som nullpunkt.

dvs at punktet x = -2,5 og y = -2,5 er det som ligger nærmest origo.

Denne framgangsmåten er gyldig for vanskeligere funksjoner og kan generaliseres til funksjoner av fleire variabler

[Gjest]

Innlegget ovanfor gjaldt nærast origo. Eg reknar med at det heller var nærast x-aksen det var snakk om. Dersom funksjonen er deriverbar, så er det mogleg å nytta derivasjon til å finna ut av dette. Dersom funksjonen ikkje har eit nullpunkt, så er den nemleg nærast null i eit topp- eller botn-punkt, og topp- og botnpunkta er karakteriserte ved at den deriverte er null (eller i eit ytterpunkt i intervall(et/a) funksjonen er definert i). Dersom funksjonen ikkje er deriverbar, så kan du derimot ikkje nytta derivasjon for å finna ut av dette, naturlegvis. Uansett er grunnregelen: Det topp- eller botnpunktet som er nærast null er også det punktet som er nærast x-aksen, så snart funksjonen ikkje skjerer x-aksen. [Formelt: du søker minimumet til |f(x)|. Minimum vert som oftast funne via derivasjon, så også i dette tilfellet. Minimumspunkta til |f(x)| er anten punkt der den deriverte til dette uttrykket er 0, dvs. punkt der den deriverte til f(x) også er 0, punkt der den deriverte ikkje er definert (inkludert knekkpunkt, og nullpunkta til f(x) er ofte knekkpunkt i |f(x)|) og endepunkt. |f(x)| er her funksjonen definert slik at |f(x)| = f(x) for f(x) > 0 og |f(x)| = -f(x) for f(x) < 0.]

Døme: f(x) = x^3 - x^2 + 1 = x^2(x - 1) + 1. f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2) = 0 for x = 0 og for x = 2/3. f(x) = 1 i det førstnemnde tilfellet, medan f(x) = 1 - 4/27 = 23/27 i det andre tilfellet. Men sidan f(x) faktisk har eit nullpunkt, så er f ikkje nærast null for eit av desse punkta likevel!

Hugs for øvrig at samanhengande funksjonar (og deriverbare funksjonar er alltid samanhengande!) har eit nullpunkt dersom det finst c og d slik at f(c) < 0 og f(d) > 0).

[Gjest]

"Det topp- eller botnpunktet som er nærast null er også det punktet som er nærast x-aksen, så snart funksjonen ikkje skjerer x-aksen. "

takk, det var dette jeg var ute etter. jeg prøvde med forskjellige funksjoner, og fant at nullpunktet til den deriverte ikke alltid ga den laveste verdien, men det var selvsagt fordi funksjonen skjærte x-aksen...

Er dette korrekt:
Hvis en har en funksjon som ikke gir løsning for x=0, kan en altså derivere funksjonen for å finne den korteste veien til x-aksen, som er det samme som den kortaste veien til origo.