S2-eksamen

[Camille]

Driver nå med kjerneregelen i derivasjon, som er greit nok, men jeg lurer på; når man har en likning med to mulige kjerner, hvordan bestemmer man hvilken som er kjernen. Finnes det noen regel som bestemmer det?
Ta for eksempel; f(x)=(x^2-5)^4-(x^2-5)^3
Hva er det som er kjernen her?

[mikki155]

Kjernen her er [tex]g(x) = x^2 - 5[/tex]:

[tex]f(g(x)) = (g(x))^4 - (g(x))^3[/tex]

Hvis du er usikker på hva som er kjernen, er det bare å prøve seg frem, eller slå opp på wikipedia e.l.

[Camille]

Så ettersom kjernen er lik i begge de to parantesene skal begge deriveres etter kjerneregelen?

[mikki155]

Vel, akkurat her var jo kjernene like. Hvis de ikke hadde vært det, hadde det f. eks. blitt:

[tex]f(g(x), h(x)) = (g(x))^4 - (h(x))^3[/tex], der [tex]h(x) = x^3[/tex] f. eks.

[Camille]

Nå driver jeg med rekker og følger. Oppgaven er å bestemme n når Sn=6105. Jeg skjønner jo da at jeg må sette opp formelen for en aritmetisk rekke, men hva gjør jeg med An?

[Lord X]

Vi må nesten ha litt mer informasjon her. Hva er første tall i rekka? Og hvor mye øker summen i rekka med for hvert ledd?

Men jeg kan godt gi et hint om hvordan man kan gå frem for å løse oppgaven:

Husk at [tex]S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} A_i[/tex] og sett inn for [tex]A_i[/tex].

[Camille]

Den formelen der skjønte jeg ingenting av. a1=3 og d=4 (altså øker den med fire).

[Lord X]

Du er kanskje ikke vant med å bruke summetegnet (stor sigma , gresk bokstav). Det jeg skrev var rett og slett at

[tex]S_n = A_1+A_2+A_3+\ldots + A_n[/tex], dvs. [tex]S_n[/tex] er jo per definisjon summen av de n første leddene i rekken.

Husk at [tex]A_i = A_1 + (i-1)d = 3+4(i-1) = 4i-1[/tex]

Jeg tenkte i utgangspunktet at vi kunne regne dette helt "fra bunnen av", dvs. vi kan se på at [tex]S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (4i-1) = (4\cdot{1}-1)+(4\cdot{2}-1)+\ldots+(4\cdot{n}-1) = 4\cdot{(1+2+3+\ldots+n)} -n[/tex] og så bruke at summen av de n første tallene - som også er en aritmetisk rekke - er [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] ("kjent" formel). Men så kom jeg på at du har vel lov til å bruke den mer generelle kjente formelen for delsummene i en aritmetisk rekke:

[tex]S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}[/tex]

Da har vi at [tex]a_n = 4n-1[/tex] slik at [tex]S_n = \frac{n(3+4n-1)}{2} = \frac{n(4n+2)}{2} = n(2n+1) = 6105[/tex]

Vi får så en annengradsligning, som vi kan løse!

[Camille]

Driver nå med Sparing og lån (går under følger og rekker), og skjønner ikke hvordan jeg skal løse denne oppgaven;

Hans kjøper et stereoanlegg til 50 000 kroner på avbetaling. Han skal betale et fast beløp hver måned i 36 måneder, første gang en måned etter kjøpet. Renten er 1,5 % per måned. Bruk en geometrisk rekke til å regne ut hvor mye Hans må betale hver måned.

Tror jeg skal bruke denne formelen: Sn=a1*k^n-1/k-1.
Men da jeg prøve å regne med denne med a1= 50 000 og k=1,015 så ble svaret helt feil.

Hva er det jeg gjør feil?

[mikki155]

Det er ikke [tex]a_1[/tex] som skal være 50 000, men det er jo summen. Da får du ut ifra formelen:

[tex]50 000 = a_1(\frac{(1.015)^n-1}{1.015-1})[/tex]