Delt funksjonsuttrykk og derivering - R1
Lagt inn: 18/11-2013 19:53
Hei!
Jeg driver og arbeider meg gjennom sinus R1-boka og har kommet til noen oppgaver som går ut på funksjoner med delt funksjonsuttrykk. Da jeg ikke har en lærer til å forklare meg dette her, så synes jeg det er litt vanskelig å forstå.
Jeg har et delt funksjonsuttrykk:
[tex]f(x) = \begin{cases}x+\frac{1}{x}\ & \text{ if } x\leq 1 \\ -x^2+2x+1& \text{ if } x> 1 \end{cases}[/tex]
Deretter deriveres funskjonsuttrykket:
[tex]f'(x) = \begin{cases}1-\frac{1}{x^2} & \text{ if } x< 1 \\ -2x+2 & \text{ if } x> 1 \end{cases}[/tex]
Det jeg lurer på er hvorfor [tex]\leq[/tex] blir til [tex]<[/tex] ?
Så når en andrederiverer den så blir vel tegnene like i forhold til den deriverte (altså større enn 1 og mindre enn 1, IKKE til og med 1?).
Ble litt forvirret når jeg skulle finne vendepunktet for den andrederiverte da jeg både hadde et punkt hvor det var brudd på grafen, samtidig hvor jeg hadde et slikt tilfelle som er beskrevet ovenfor (det er faktisk det samme funksjonsuttrykket, så gjerne vis og forklar).
Jeg kan vise hvordan jeg har tegnet opp fortegnslinjen. Den ble litt dårlig, men håper dere skjønner. Jeg vet ikke helt hvordan jeg tegner opp fortegnslinje her.
_______________________________0____________________1__________________________________> x-linje
2 __________________________________________________>
[tex]x^3[/tex] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _O___________________>
-2 <_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
[tex]f''(x)[/tex] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ><__________________><_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Så fasiten tilsier at kun x=1 gir et vendepunkt. Skjønner jo at x=0 ikke gir vendepunkt pga det er brudd på brøken. Men ut ifra fortegnslinjen har jo x=0 og x=1 begge >< ? Det vil jo si at grafen ikke er definert for x=1 eller x=0?
Håper noen kan hjelpe en forvirret sjel!
Ser at det ble litt surr med fortegnslinjen...
For 2 og x^3 er kun definert for [tex]x< 1[/tex]
-2 er kun definert for [tex]x> 1[/tex]
Jeg driver og arbeider meg gjennom sinus R1-boka og har kommet til noen oppgaver som går ut på funksjoner med delt funksjonsuttrykk. Da jeg ikke har en lærer til å forklare meg dette her, så synes jeg det er litt vanskelig å forstå.
Jeg har et delt funksjonsuttrykk:
[tex]f(x) = \begin{cases}x+\frac{1}{x}\ & \text{ if } x\leq 1 \\ -x^2+2x+1& \text{ if } x> 1 \end{cases}[/tex]
Deretter deriveres funskjonsuttrykket:
[tex]f'(x) = \begin{cases}1-\frac{1}{x^2} & \text{ if } x< 1 \\ -2x+2 & \text{ if } x> 1 \end{cases}[/tex]
Det jeg lurer på er hvorfor [tex]\leq[/tex] blir til [tex]<[/tex] ?
Så når en andrederiverer den så blir vel tegnene like i forhold til den deriverte (altså større enn 1 og mindre enn 1, IKKE til og med 1?).
Ble litt forvirret når jeg skulle finne vendepunktet for den andrederiverte da jeg både hadde et punkt hvor det var brudd på grafen, samtidig hvor jeg hadde et slikt tilfelle som er beskrevet ovenfor (det er faktisk det samme funksjonsuttrykket, så gjerne vis og forklar).
Jeg kan vise hvordan jeg har tegnet opp fortegnslinjen. Den ble litt dårlig, men håper dere skjønner. Jeg vet ikke helt hvordan jeg tegner opp fortegnslinje her.
_______________________________0____________________1__________________________________> x-linje
2 __________________________________________________>
[tex]x^3[/tex] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _O___________________>
-2 <_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
[tex]f''(x)[/tex] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ><__________________><_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Så fasiten tilsier at kun x=1 gir et vendepunkt. Skjønner jo at x=0 ikke gir vendepunkt pga det er brudd på brøken. Men ut ifra fortegnslinjen har jo x=0 og x=1 begge >< ? Det vil jo si at grafen ikke er definert for x=1 eller x=0?
Håper noen kan hjelpe en forvirret sjel!
Ser at det ble litt surr med fortegnslinjen...
For 2 og x^3 er kun definert for [tex]x< 1[/tex]
-2 er kun definert for [tex]x> 1[/tex]
