Bevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Nei, det er ikke det samme. Et moteksempel er et konkret eksempel som viser at en matematisk påstand ikke kan være sann.
Banalt eksempel: Alle primtall er oddetall.
Moteksempel: p=2 er partall, men også primtall.
Så dersom man vil motbevise påstanden om at alle primtall er oddetall, holder det å komme med et konkret eksempel som viser at påstanden er feil.
Hva så med selvmotsigelser? En selvmotsigelse er jo noe som er logisk umulig, f.eks. et utsagn som "x er både oddetall og partall". Dersom man har gjort en antakelse som fører til en selvmotigelse, har vi derfor ingen andre valg enn å konkludere med at vår originale antakelse var feil.
Et klassisk eksempel: Dersom vi vil bevise at det ikke finnes noen rasjonale tall som opphøyd i andre potens blir 2 (dvs. vise at [tex]\sqrt{2}[/tex] ikke er en brøk), kan vi bruke bevis ved motsigelse. Vi antar rett og slett at det finnes et slikt rasjonalt tall x, dvs. vi later som om vi kan finne en x slik at:
[tex]x=\frac{m}{n}[/tex] for heltall m,n og [tex]x^2=2[/tex].
Videre kan vi alltid anta at en brøk er forkortet mest mulig, dvs. vi kan anta at teller og nevner ikke har noen felles faktorer (hvis den hadde det, kunne vi bare dele på den felles faktoren oppe og nede for slik å bli kvitt faktoren).
Ut i fra dette kan vi så konkludere med at [tex]\frac{m^2}{n^2}=2[/tex] og følgelig får vi [tex]m^2=2n^2[/tex]. Dette impliserer (ser du hvorfor?) at m må være et partall, og følgelig kan vi skrive m som et produkt [tex]m=2k[/tex], der k er et annet heltall. Setter vi dette inn i likningen ovenfor, ser vi at:
[tex](2k)^2=4k^2=2n^2[/tex] dvs. [tex]n^2=2k^2[/tex], og vi blir nødt til å konkludere med at n også er partall. Men nå har vi fått en selvmotsigelse, for vi har antatt at m og n ikke har felles faktorer og likevel endt opp med at de begge er partall, dvs. at de begge inneholder 2 som faktor. Følgelig må vår originale antakelse om at [tex]\sqrt{2}[/tex] er en brøk være feil!
Dette var kanskje et litt komplisert eksempel, så jeg kan ta et litt enklere også. La oss bevise den klassiske påstanden om at det finnes uendelig mange primtall. En måte å gjøre det på er å starte med å anta det motsatte, dvs. vi "later" som om det bare finnes endelig mange primtall: [tex]p_1,\ldots, p_n[/tex].
Vi lager et nytt tall N ved å definere [tex]N=p_1\cdot{p_2}\cdots{p_n} + 1[/tex]. Vi vet at alle tall har minst en primfaktor, så vi vet at N må være delelig med et av primtallene, f.eks. [tex]p_k[/tex]. Dvs:
[tex]\frac{N}{p_k} = p_1\cdots{p_{k-1}}\cdot{p_{k+1}}\cdots{p_n}+\frac{1}{p_k}[/tex] er et heltall. Men vi ser jo at dette er feil, dvs. vi har en selvmotsigelse! Følgelig må vår antakelse om at det bare finnes endelig mange primtall være feil!
Se ellers denne wikipedia artikkelen her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Banalt eksempel: Alle primtall er oddetall.
Moteksempel: p=2 er partall, men også primtall.
Så dersom man vil motbevise påstanden om at alle primtall er oddetall, holder det å komme med et konkret eksempel som viser at påstanden er feil.
Hva så med selvmotsigelser? En selvmotsigelse er jo noe som er logisk umulig, f.eks. et utsagn som "x er både oddetall og partall". Dersom man har gjort en antakelse som fører til en selvmotigelse, har vi derfor ingen andre valg enn å konkludere med at vår originale antakelse var feil.
Et klassisk eksempel: Dersom vi vil bevise at det ikke finnes noen rasjonale tall som opphøyd i andre potens blir 2 (dvs. vise at [tex]\sqrt{2}[/tex] ikke er en brøk), kan vi bruke bevis ved motsigelse. Vi antar rett og slett at det finnes et slikt rasjonalt tall x, dvs. vi later som om vi kan finne en x slik at:
[tex]x=\frac{m}{n}[/tex] for heltall m,n og [tex]x^2=2[/tex].
Videre kan vi alltid anta at en brøk er forkortet mest mulig, dvs. vi kan anta at teller og nevner ikke har noen felles faktorer (hvis den hadde det, kunne vi bare dele på den felles faktoren oppe og nede for slik å bli kvitt faktoren).
Ut i fra dette kan vi så konkludere med at [tex]\frac{m^2}{n^2}=2[/tex] og følgelig får vi [tex]m^2=2n^2[/tex]. Dette impliserer (ser du hvorfor?) at m må være et partall, og følgelig kan vi skrive m som et produkt [tex]m=2k[/tex], der k er et annet heltall. Setter vi dette inn i likningen ovenfor, ser vi at:
[tex](2k)^2=4k^2=2n^2[/tex] dvs. [tex]n^2=2k^2[/tex], og vi blir nødt til å konkludere med at n også er partall. Men nå har vi fått en selvmotsigelse, for vi har antatt at m og n ikke har felles faktorer og likevel endt opp med at de begge er partall, dvs. at de begge inneholder 2 som faktor. Følgelig må vår originale antakelse om at [tex]\sqrt{2}[/tex] er en brøk være feil!
Dette var kanskje et litt komplisert eksempel, så jeg kan ta et litt enklere også. La oss bevise den klassiske påstanden om at det finnes uendelig mange primtall. En måte å gjøre det på er å starte med å anta det motsatte, dvs. vi "later" som om det bare finnes endelig mange primtall: [tex]p_1,\ldots, p_n[/tex].
Vi lager et nytt tall N ved å definere [tex]N=p_1\cdot{p_2}\cdots{p_n} + 1[/tex]. Vi vet at alle tall har minst en primfaktor, så vi vet at N må være delelig med et av primtallene, f.eks. [tex]p_k[/tex]. Dvs:
[tex]\frac{N}{p_k} = p_1\cdots{p_{k-1}}\cdot{p_{k+1}}\cdots{p_n}+\frac{1}{p_k}[/tex] er et heltall. Men vi ser jo at dette er feil, dvs. vi har en selvmotsigelse! Følgelig må vår antakelse om at det bare finnes endelig mange primtall være feil!
Se ellers denne wikipedia artikkelen her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Sist redigert av Lord X den 21/11-2013 14:20, redigert 1 gang totalt.
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
Tror du blingsa litt i skrivinga. Jeg trenger vel ikke rette det oppLord X skrev: Banalt eksempel: Alle primtall er oddetall.
Moteksempel: p=2 er partall, men også oddetall.
