Trigonometrisk likning.

[astr0man]

Hei har derivert en funksjon f(x)=x*cos(x) x [0,2PI) --> f'(x)=cos(x)-x*sin(x)
Har lyst til å finne topp og bunnpunkter. Kan jeg løse at f'(x)=0 ved regning ?

cos(x)-x*sin(x)=0

mvh astr0

[Lord X]

Nei, jeg tror ikke det lar seg gjøre å finne et eksakt svar ved vanlig regning her, man må nok bruke numeriske metoder.

[Nebuchadnezzar]

Merk at funkjsjonen $f(x) = x \cos x$ har uendelig mange toppunkter og bunnpunkter. Siden funksjonen er stigende finnes det heller ikke noe globalt toppunkt
eller bunnpunkt. La oss heller prøve å finne det første ekstremalpunktet for $x>0$. Det mest naturlige på videregående
blir å benytte seg av eksempelvis geogebra. Da kan en først skrive inn funksjonen i kommandovinduet som

Kode: Velg alt

f(x) = x * cos(x)

Og deretter finne ekstremalpunktet ved å skrive

Kode: Velg alt

Max[f,0,pi/2]

Under blir en alternativ måte vist, som kun bruker penn og papir. Legg først merke til at

$ \hspace{1cm}
f(0) = 0 \quad\text{og} \quad f(\pi/2) = 0
$

Slik at $f$ har et ekstremalpunkt for $x\in(0,\pi/2)$. Siden $f'(x)<0$ på intervalet så er ekstremalpunktet et toppunkt.
Som nevnt før er det ikke mulig å finne et uttrykk for toppunktet ved elementære funksjoner, så det er enklere å gjøre et anslag.
Det enkleste er å tippe at $x-verdien$ til toppunktet ligger midt i intervallet. Så

$ \hspace{1cm}
x_0 = \pi/4\,,
$

For å få et bedre anslag kan newton benyttes via

$ \hspace{1cm}
g(x) = x - \frac{f'(x)}{f''(x)}
$

Ved å sette inn verdier fås

$ \hspace{1cm}
x^* \sim g(\pi/4) = 1 - \frac{\pi^2 - 16}{32 + 4\pi} \approx \frac{157}{182}
$

Som er et godt anslag for nullpunktet. Siste tinærming ble gjort ved å anta at $\pi \approx 22/7$. En enda bedre verdi kan finnes ved å sette inn i $g$ igjen,
men det får da være måte på.