Geometrisk rekke

[Zewadir]

Hei, jeg har denne oppgaven som har gjort meg litt forvirret.

Finn x slik at rekka blir konvergent. Finn deretter summen.

a) [tex]1 + x + x^{2}+x^{3}+...[/tex]


Konvergensområdet blir da [tex]x \epsilon \left \langle -1,1 \right \rangle[/tex]

Her kommer det som jeg ikke skjønner:

Når [tex]\left | k \right |< 1[/tex]konvergerer rekken og summen av rekken går da mot:

[tex]\frac{-a_{1}}{k-1}[/tex]

Setter inn for det jeg har funnet:

[tex]\frac{-1}{x-1}[/tex], dette uttrykket går da mot uendelig når x nærmer seg 1.

[Realist1]

Hvorfor setter du inn 1 for x da? Du har jo funnet ut at x er større enn -1 og mindre enn 1. Da må du jo ikke velge en verdi utenfor dette intervallet.

[Zewadir]

Teknisk sett setter jeg aldri inn 1, men 0.999999999999... som er innenfor intervallet. Dette sender fortsatt uttrykket mot uendelig. Der jeg setter inn 1 er for det første leddet i rekken som er [tex]a_{1}[/tex].


Likevel tror jeg at jeg har skjønt hvor jeg tar feil.

Konvergerer betyr at en uendelig geometrisk rekke nærmer seg en bestemt sum og dette skjer når absoluttverdien av k er mindre enn 1. Derfor forventet jeg en konstant etter å ha funnet konvergensområdet, men konstanten (summen) er fortsatt avhengig av variabelen. Isteden for en konstant får man et uttrykk. Summen av uttrykket begrenses da av variablen. Er dette riktig?

[Realist1]

Teknisk sett setter jeg aldri inn 1, men 0.999999999999... som er innenfor intervallet. Dette sender fortsatt uttrykket mot uendelig. Der jeg setter inn 1 er for det første leddet i rekken som er [tex]a_{1}[/tex].

Men $0.999... = 1$, derfor er det utenfor intervallet ditt.

Konvergerer betyr at en uendelig geometrisk rekke nærmer seg en bestemt sum og dette skjer når absoluttverdien av k er mindre enn 1. Derfor forventet jeg en konstant etter å ha funnet konvergensområdet, men konstanten (summen) er fortsatt avhengig av variabelen. Isteden for en konstant får man et uttrykk. Summen av uttrykket begrenses da av variablen. Er dette riktig?

Ja, dette er riktig. Hvis $x$ er 0, så vil jo summen åpenbart være 1, for eksempel. Et annet eksempel som er lett å forestille seg er hvis $x$ er $10^{-1}$. Da får vi følgende:

$1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...$

$= \, \, 1 + 0.1+ 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ...$

$= \, \, 1.1111...$

Dette stemmer også med $S = \frac{-1}{0.1 -1} = \frac{1}{0.9} = 1.1111....$

Så ja, rekken er konvergent når $|x| < 1$, men summen vil variere ut fra hva $x$ er. Desto nærmere 1 du velger $x$, desto større vil summen bli, og med en gang du setter så mye som en tå over (oppå?) grensen, så er rekken plutselig divergent, og går mot uendelig.

[Zewadir]

Realist1 skrev:
Men 0.999...=1, derfor er det utenfor intervallet ditt.

Nå ble jeg litt forvirret. Jeg forstår at 0.999... er tilnærmet lik 1, men det er aldri 1. Intervallet mitt er jo "akkurat ikke 1", men fortsatt uendelig nærme tallet 1. Derfor burde det fortsatt være innenfor konvergensområdet. Alikevel viser du klart og tydelig at rekken divergerer når man nærmer seg ytterpunktet i intervallet. Betyr ikke [tex]x\epsilon \left \langle -1,1 \right \rangle[/tex] at x kan være så nærme -1 og 1 vi vil, men bare ikke akkurat lik -1 eller 1?

[Aleks855]

Nå ble jeg litt forvirret. Jeg forstår at 0.999... er tilnærmet lik 1, men det er aldri 1.

Si ikke det.

$\lim_{x \to 1} x = 1$

Forklares også her: https://www.youtube.com/watch?v=TINfzxSnnIE

[Realist1]

Realist1 skrev:
Men 0.999...=1, derfor er det utenfor intervallet ditt.

Nå ble jeg litt forvirret. Jeg forstår at 0.999... er tilnærmet lik 1, men det er aldri 1. Intervallet mitt er jo "akkurat ikke 1", men fortsatt uendelig nærme tallet 1. Derfor burde det fortsatt være innenfor konvergensområdet. Alikevel viser du klart og tydelig at rekken divergerer når man nærmer seg ytterpunktet i intervallet. Betyr ikke [tex]x\epsilon \left \langle -1,1 \right \rangle[/tex] at x kan være så nærme -1 og 1 vi vil, men bare ikke akkurat lik -1 eller 1?

0,9 er innenfor. 0,99 er innenfor. 0,999 er innenfor. 0,9999999999999999 er også innenfor. Men 0,999... er ikke innenfor. Repeterende 9 betyr at det faktisk er lik 1.

Her er et Google-søk som viser flere relevante linker.
Stikkord:
"0.99999... It may come as a surprise when you first learn the fact that this real number is actually EQUAL to the integer 1."
"0.999 repeating is *exactly* equal to 1."
osv.
Wikipedia og YouTube er spesielt fine lenker.

[Zewadir]

Wow, hun snakket fort... vil si den videoen var en grøsser med ubesvarlige filosofiske spørsmål, pilen som aldri kommer noen vei

Allikevel ender jeg opp med at 0.99999...en haug med 9-ere...990, som er ikke er et uendelig tall, vil gjøre at summen blir veldig, veldig stor. Er det fordi denne summen aldri kan bli uendelig stor, at vi vil si den konvergerer?

[Realist1]

Wow, hun snakket fort... vil si den videoen var en grøsser med ubesvarlige filosofiske spørsmål, pilen som aldri kommer noen vei

Allikevel ender jeg opp med at 0.99999...en haug med 9-ere...990, som er ikke er et uendelig tall, vil gjøre at summen blir veldig, veldig stor. Er det fordi denne summen aldri kan bli uendelig stor, at vi vil si den konvergerer?

Jepp. Selv om summen kanskje er hundre tusen milliarder trilliarder, så er det fortsatt en endelig sum, og dermed konvergerer rekken.

[Realist1]

Wow, hun snakket fort... vil si den videoen var en grøsser med ubesvarlige filosofiske spørsmål, pilen som aldri kommer noen vei

Det er forresten ikke et ubesvarlig spørsmål. Tvert i mot er det et relativt simpelt spørsmål, og løsningen handler om grenser og uendelighet. Dette er VGS-stoff, og er omtrent akkurat det samme som Zenos paradoks.

[Zewadir]

Tusen takk begge to

[Zewadir]

VGS-stoff? Jeg har så langt ikke støtt på dette i bøkene. Hva er det jeg bør kunne om alle disse komplekse, irrasjonelle tallene?

[Realist1]

VGS-stoff? Jeg har så langt ikke støtt på dette i bøkene. Hva er det jeg bør kunne om alle disse komplekse, irrasjonelle tallene?

Komplekse tall lærer man vel om i Matte X, som jeg hadde i VG2. Irrasjonale tall har du vel lært om. Kvadratroten av 2, kvadratroten av 3, sin(60), pi, e, osv...

Men det var uansett ikke dette jeg tenkte på. Jeg tenkte på dette pil-paradokset. Det er et av Zenos paradokser, og er egentlig bare en variant av hans mest kjente paradoks om skilpadden og haren/Akilles. Har verken læreren eller boken din noensinne nevnt Zenos paradoks?

Her er en fin video om det:
https://www.youtube.com/watch?v=u7Z9UnWOJNY

[Zewadir]

Nei, det er nevnt kort under difflikninger kapitlet i R2, men det henvises til nettet for å lære mer om det. Jeg tror det er fjernet fra VGS-pensum.

http://www.udir.no/kl06/MAT3-01/Hele/Ko ... matikk-R2/

I videoen kommer det ikke noen løsning på Zeno's paradoks (så vidt jeg forstod), men det finnes en?

[Realist1]

I videoen kommer det ikke noen løsning på Zeno's paradoks (så vidt jeg forstod), men det finnes en?

Løsningen er jo bare at det i paradokset forutsettes at stegene blir stadig mindre.

Si at skilpadden starter med 100m forsprang.
Når Akilles har løpt opp de 100 metrene, har skilpadden gått 10 meter frem.
Når Akilles har tatt igjen disse 10 metrene, har skilpadden gått 1 meter frem.
Når Akilles har tatt igjen denne meteren, har skilpadden gått 10 cm frem.
osv osv osv. Med denne logikken forklares at Akilles aldri noensinne vil ta igjen skilpadden, fordi hver gang Akilles har kommet til det punktet der skilpadden var, så har skilpadden kommet seg videre.

Løsningen er altså at strekningen her er summen av en konvergerende rekke. Strekningsintervallet blir mindre og mindre, og summeres opp til 111,111111111... meter. Siden de løper med en konstant fart, vil de jo på et tidspunkt løpe forbi dette punktet, og dermed har Akilles løpt forbi skilpadden. Dersom hvert "steg" i utregningen tok et gitt antall sekunder, så ville de jo løpt i evigheten. Men også tiden det tar, går jo mot en sum. Når den tiden er passert, vil Akilles være forbi.