Nullpunktene til en tredjegradsfunksjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
Hei. Jeg lurer på åssen jeg skal finne nullpunktene til en tredjegradsfunksjon ved regning. De eneste måtene jeg kan tenkte meg å finne løsningen er å løse den på kalkulator eller tegne grafen og lese av. En andregradsfunksjon kan jeg finne nullpunktene på ved å løse andregradslikningen. Noen som kan kaste litt lys over saken for meg ?
Det kommer jo veldig an på hvordan uttrykket ser ut, men ofte går det an å faktorisere på en eller annen måte, og da er det jo nullpunkter der hvor faktorene er lik null.
Det går også an å sette hele greia lik null og sette inn noen tall og prøve seg frem litt, såklart.
Det går også an å sette hele greia lik null og sette inn noen tall og prøve seg frem litt, såklart.
-
Gjest
Så det er ingen generell måte som jeg skal kjenne til ( jeg tar 2mx ) enda ? Grunnen til at jeg spør er at jeg nylig hadde en prøve der det første spørsmålet var nullpunktene til en andregradsfunksjon. Jeg viste ikke hva jeg skulle gjøre siden det måtte gjøres ved regning.
Det går an å finne røttene til en tredjegradsligningmed vanlig rot-utdragning, også 4.gradsligninger. Vår egen Nils Henrik Abel viste at det ikke fungerer med 5.gradsligninger.
Uansett er dette ikke i nærhetene av pensum på norsk videregående skole
Uansett er dette ikke i nærhetene av pensum på norsk videregående skole
-
Gjest
Me har likninga x^3 + ax^2 + bx + c = 0.
Steg 1: Få vekk andregradsleddet. Dette gjerast ved å gjera eit passande variabelskifte y = x + e: (y - e)^3 + a(y - e)^2 + b(y - e) + c = 0. Koeffisienten til y^2 er her -3e + a, dvs. at me vel e = a/3.
Steg 2: Me har no likninga y^3 + py + q = 0, p og q konstantar. La no y = u - v (me bringer inn to nye ukjente, noko som virker tullete, men me får større spelerom ved dette. I steg 1 gjorde me noko tilsvarande, og fann at likninga vart forenkla ved at me bestemte den ukjente e som a/3).
(u - v)^3 + p(u - v) + q = 0
u^3 - 3u^2*v + 3u*v^2 - v^3 + p(u - v) + q = 0
u^3 - 3uv(u - v) - v^3 + p(u - v) + q = 0
(u^3 - v^3) + (u - v)(p - 3uv) + q = 0
La 3uv = p. Då er v = p/3u og y = u - p/3u.
u^3 - v^3 + q = 0
u^3 - p^3/(3u)^3 + q = 0
u^6 - p^3/27 + qu^3 = 0
Dette er ei andregradslikning i forhold til z = u^3. Me finn no u som ei tredjerot av denne løysninga, og dermed finn me også y og til slutt x'en me hadde i utgangspunktet.
Formelen du får er mildt sagt stygg, men metoden skulle vera grei å hugsa. I korte trekk:
(1) Variabelskifte: Velg y = x + e slik at me får ei likning utan andregradsledd.
(2) Sett x = u - v. Forenkl likninga du får ved å setja eit passe stort ledd lik 0 (me set p = 3uv og får vekk ein god del).
(3) Gjorde du førre trinnet rett, så sit du no igjen med ein andregradslikning med omsyn på u^3, og andregradslikninga kjenner du løysninga til frå før av.
Dette er riktig nok ikkje pensum for vidaregåande, så oppgåva du sikter til hadde nok ei eller anna "opplagt" rot.
Steg 1: Få vekk andregradsleddet. Dette gjerast ved å gjera eit passande variabelskifte y = x + e: (y - e)^3 + a(y - e)^2 + b(y - e) + c = 0. Koeffisienten til y^2 er her -3e + a, dvs. at me vel e = a/3.
Steg 2: Me har no likninga y^3 + py + q = 0, p og q konstantar. La no y = u - v (me bringer inn to nye ukjente, noko som virker tullete, men me får større spelerom ved dette. I steg 1 gjorde me noko tilsvarande, og fann at likninga vart forenkla ved at me bestemte den ukjente e som a/3).
(u - v)^3 + p(u - v) + q = 0
u^3 - 3u^2*v + 3u*v^2 - v^3 + p(u - v) + q = 0
u^3 - 3uv(u - v) - v^3 + p(u - v) + q = 0
(u^3 - v^3) + (u - v)(p - 3uv) + q = 0
La 3uv = p. Då er v = p/3u og y = u - p/3u.
u^3 - v^3 + q = 0
u^3 - p^3/(3u)^3 + q = 0
u^6 - p^3/27 + qu^3 = 0
Dette er ei andregradslikning i forhold til z = u^3. Me finn no u som ei tredjerot av denne løysninga, og dermed finn me også y og til slutt x'en me hadde i utgangspunktet.
Formelen du får er mildt sagt stygg, men metoden skulle vera grei å hugsa. I korte trekk:
(1) Variabelskifte: Velg y = x + e slik at me får ei likning utan andregradsledd.
(2) Sett x = u - v. Forenkl likninga du får ved å setja eit passe stort ledd lik 0 (me set p = 3uv og får vekk ein god del).
(3) Gjorde du førre trinnet rett, så sit du no igjen med ein andregradslikning med omsyn på u^3, og andregradslikninga kjenner du løysninga til frå før av.
Dette er riktig nok ikkje pensum for vidaregåande, så oppgåva du sikter til hadde nok ei eller anna "opplagt" rot.
-
Gjest
f(x)=0 finner du nullpunkt.
f`(x)=0 finner du toppunkt og bunnpunkt.
f``(x)=0 finner du vendepunkt.
f`(x)=0 finner du toppunkt og bunnpunkt.
f``(x)=0 finner du vendepunkt.
Se linken:
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae/ae0103.pdf
eller:
http://www.1728.com/cubic.htm (en "kalkulator")
eller:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae/ae0103.pdf
eller:
http://www.1728.com/cubic.htm (en "kalkulator")
eller:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Jeg tror du i ditt problem har ei likning på formen:
ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx = 0, du mangler d-leddet i forhold til den generelle tredjegradslikningen.
Her kan du faktorisere: (fordi ei løsning er x = 0):
x*(ax[sup]2[/sup]+bx+c)=0
som gir
x = 0 eller ax[sup]2[/sup] + bx + c =0
Likningen til høyre er en andregradslikning som vi har en formel for...
ok?
ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx = 0, du mangler d-leddet i forhold til den generelle tredjegradslikningen.
Her kan du faktorisere: (fordi ei løsning er x = 0):
x*(ax[sup]2[/sup]+bx+c)=0
som gir
x = 0 eller ax[sup]2[/sup] + bx + c =0
Likningen til høyre er en andregradslikning som vi har en formel for...
ok?