Spørsmål om trigonometri (komplekse tall)?

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg har en oppgave med et komplekst tall z = -2.

Dette har da realdel lik -2 og imaginærdel lik 0. Altså -2 på førsteaksen.

Hvordan finner jeg argumentet til tallet?

Boken har hittil lært meg å bruke invers tan (b/a). Strengt tatt kan jeg vel også bruke cosinus og sinus på dette.

Men hvordan finner jeg argumentet her? Tan kan jeg ikke bruke på grunn av null. Invers cosinus og sinus kan jeg heller ikke bruke sånn uten videre? Kan selvsagt bruke invers cosinus (-1) = 180 grader (pi). Det blir jo det samme. Men er det rett å tenke slik?

Trigonometri er ikke min sterke side, så jeg ønsker å forstå dette.

På forhånd takk.

[Aleks855]

Jada, du tenker rett. Argumentet vil være vinkelen du må trekke for å nå punktet (-2, 0). I dette tilfellet er det en 180 graders vinkel, så argumentet er 180 grader i radianer, altså $\pi$.

Generelt trenger man ikke å bruke tangens-metoden for reelle tall. Argumentet vil alltid være 0 eller pi avhengig av fortegnet til tallet.

[Johan Nes]

Takker, Aleks.

Men hvordan ville du ført dette i oppgaven når man skal vise utregningen av argumentet?

På tidligere oppgaver hvor det komplekse tallet også har imaginærdel, så fører jeg det slik: theta = invers tan b/a. Så regner jeg eventuelt om til radianer.

[Aleks855]

Dette har jeg ikke mye peiling på, men å bruke $\arctan$ er en forenkling. Det finnes en annen funksjon vi bruker for å finne vinkler som tar hensyn til hvilken kvadrant punktet er i, som kalles arctan2.

arctan gjør ikke dette fordi tan(x) repeteres for hver pi og er da per definisjon ikke injektiv, og derfor egentlig ikke inverterbar på hele definisjonsmengden sin.

Bruker du denne (i bildeform fordi jeg er TeX-lat), vil du få riktig argument:

[Nebuchadnezzar]

På slike oppgaver lager jeg meg som regel en grov skisse.
Eg tegner opp et lite aksesystem tegner punktet og vinkelen.
Hvor jeg skriver inn r og theta. ved siden av vil det da stå
$r = \sqrt{ 1 + 1 } = \ldots$ og $\theta = \arctan \, \ldots$
Da er jeg sikker på å få det rett og slipper å rote med atan og slikt.

Aldri fått klager på slik føring i de tre fire fagene jeg har hatt
med innhold av kompleks analyse.

[Johan Nes]

Takk for svar, dere to.

Dette er X matematikk for VGS. Er usikker på om arc tan inngår i pensum. Har ikke boken for hånd, men kan ikke huske å ha sett det der når jeg bladde gjennom.

Uansett, dette er nok ikke så viktig som jeg tror. Tenkte bare å spørre ettersom jeg var usikker.

[Vektormannen]

Anbefaler å tenke slik Nebu viser til. Tegn en figur der du plasserer tallet i et koordinatsystem, så blir det lettere å se hvordan man kan finne argumentet. Hvis tallet f.eks. ligger i 3. kvadrant kan du finne vinkelen tallet danner med den negative reelle aksen ("x-aksen"), og så legge på 180 grader. Jeg syns i alle fall det er lettere å tenke slik enn å prøve å bruke en helt generell formel.

[tex]\arctan[/tex] er et annet navn på funksjonen [tex]\tan^{-1}[/tex] (inversfunksjonen til tangens) som du antagelig har vært borti? Må ikke forveksles med [tex]\text{atan2}[/tex] som Aleks855 refererte til over her.

[Johan Nes]

Anbefaler å tenke slik Nebu viser til. Tegn en figur der du plasserer tallet i et koordinatsystem, så blir det lettere å se hvordan man kan finne argumentet. Hvis tallet f.eks. ligger i 3. kvadrant kan du finne vinkelen tallet danner med den negative reelle aksen ("x-aksen"), og så legge på 180 grader. Jeg syns i alle fall det er lettere å tenke slik enn å prøve å bruke en helt generell formel.

[tex]\arctan[/tex] er et annet navn på funksjonen [tex]\tan^{-1}[/tex] (inversfunksjonen til tangens) som du antagelig har vært borti? Må ikke forveksles med [tex]\text{atan2}[/tex] som Aleks855 refererte til over her.

Takker, Vektormannen.

Jeg visste ikke at arctan var et annet navn for invers tangens. Den har jeg vært borte i noen ganger nå.

Med et reelt tall z = a + bi finner man argumentet ved invers tangens (b/a), sant?

Men når z = -2, kan man vel ikke bruke arc tan? Ettersom b/a = 0/-2 = 0. Og invers tangens (0) = 0.

Jeg kan jo bruke invers cosinus (-1) = 180 grader, men det er kanskje ikke helt rett?

Trøtt nå. Måtte bare rable det ned før jeg tok kveld.

[claves]

Jeg vil anta at det ikke er nødvendig å bruke en invers trigonometrisk funksjon i det hele tatt, men heller skrive noe slikt:

Siden [tex]z = -2[/tex] vil ligge til venstre for origo på den reelle aksen vil vinkelen den danner med høyresiden av den reelle aksen være [tex]180^\circ[/tex].

Dette vil ihvertfall jeg mene er et fullgodt svar (jobber som lærer i vgs selv).

[Johan Nes]

Takker, Claves. Da tar jeg det til etterretning.

Samme problemstilling vil jo også bli gjeldende ved komplekse tall som kun har imaginærdel.

Kan noen fortelle meg hvordan jeg regner ut [tex](6e^{2\pi i})^2[/tex]?

Prøvde å regne det ut slik jeg er vant med å regne ut potenser med samme grunntall, men ser ut som det ble feil.

[Nebuchadnezzar]

Den vil (selvsagt?) peke rett til høyre. En måte å se dette på er for eksempel
å bruke eulers formel, som burde være kjent

$ \hspace{1cm}
e^{i\omega} = \cos \omega + i \sin \omega
$

Slik at du får den på en forhåpentlig vis mer kjent form.

Alternativt
kan du se på $p(t) = e^{it}$ som en partikkel som reiser rundt enhetssirkelen.
Partikkelen har posisjon $p(0) = 1$ og begynner altså i punktet $(0,1)$.
Etter tiden $2\pi$ har den reist en gang omkring sirkelen og havner atter en
gang i $(0,1)$. Da burde det kke by på store problemer å bestemme
posisjonen til partikkelen etter tiden $4\pi$.

[Johan Nes]

Takker, Nebuchadnezzar, men det hjalp meg dessverre ikke så mye.

Det er en del av en noe større multiplikasjonsoppgave av komplekse tall på eksponentiell form. Tallet skal skrives på vanlig form, så jeg så for meg å først regne ut hele produktet på eksponentiell form og deretter konvertere til polar form og regne ut det for å til slutt få det på vanlig form. Det er i hvert fall slik fremgangsmåten har vært på tidligere oppgaver.

[tex]z1^2z2[/tex]

hvor [tex]z1 = 6e^2\pi i[/tex] og [tex]z2 = 3e^\frac{\pi }{2}i[/tex]

Hmmm...alt etter [tex]e[/tex] er med i eksponenten, men fikk ikke det til å se slik ut.

Trenger og ønsker heller ikke hele utregningen, skjønte bare ikke hvordan jeg skulle få til å regne ut [tex]z1^2[/tex].

For eksempel blir vel [tex](e^2)^2[/tex] = [tex]e^2*e^2[/tex] = [tex]e^(2+2)[/tex] = [tex]e^4[/tex]

Men jeg fikk ikke dette til å stemme her. Det har vel med [tex]i[/tex] å gjøre mistenker jeg, gitt at jeg faktisk regnet ut rett da.

[Nebuchadnezzar]

det siste du skriver stemmer. Glemmer jeg reglene sjekker jeg bare med tall
$(2^3)^2 = 8^2 = 64$. Mens $2^{3+2} = 32$, så en skal gange. Altså er $(e^m)^n = e^{m\cdot n}$
og $e^m \cdot e^n = e^{m+n}$.

$ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = 36 (e^{4 \pi i} ) = 36 ( \cos 4\pi + i \sin 4 \pi ) = 36
$

Ellers så er $e^{\pi i} = - 1$ så $e^{n \pi i} = (e^{\pi i})^n = (-1)^n$, hvor $n\in \mathbb{N}$.
Så en kunne og har ført det som

$ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = ( 6 \cdot 1)^2 = 36
$

Siden $e^{2\pi i} = 1$. Ellers er det bare å gange sammen og trekke sammen, før en enten
bruker Eulers formel eller http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula. Gjerne benytt
_ for subindekser $z_1 z_2$ =)

[Johan Nes]

Takk for et grundig svar, Nebuchadnezzar.

Jeg bruker også å sjekke reglene med tall når jeg er i tvil eller ikke har boken for hånd eller rett og slett bare ønsker å være mer selvstendig.

Det gjorde jeg i går og i teorien trodde jeg at $ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = 36 (e^{4 \pi i} )
$

Jeg gjorde det samme som deg her. Men når jeg tok kontroll (og jeg prøvde nettopp igjen), så får jeg 36 til venstre for likhetstegnet, men når jeg multipliserer ut uttrykket til høyre får jeg svaret: 36-7,2E-12i.

Har du gjort noe feil her eller er det jeg som misforstår et eller annet?

det siste du skriver stemmer. Glemmer jeg reglene sjekker jeg bare med tall
$(2^3)^2 = 8^2 = 64$. Mens $2^{3+2} = 32$, så en skal gange. Altså er $(e^m)^n = e^{m\cdot n}$
og $e^m \cdot e^n = e^{m+n}$.

$ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = 36 (e^{4 \pi i} ) = 36 ( \cos 4\pi + i \sin 4 \pi ) = 36
$

Ellers så er $e^{\pi i} = - 1$ så $e^{n \pi i} = (e^{\pi i})^n = (-1)^n$, hvor $n\in \mathbb{N}$.
Så en kunne og har ført det som

$ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = ( 6 \cdot 1)^2 = 36
$

Siden $e^{2\pi i} = 1$. Ellers er det bare å gange sammen og trekke sammen, før en enten
bruker Eulers formel eller http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula. Gjerne benytt
_ for subindekser $z_1 z_2$ =)

[Aleks855]

Takk for et grundig svar, Nebuchadnezzar.

Jeg bruker også å sjekke reglene med tall når jeg er i tvil eller ikke har boken for hånd eller rett og slett bare ønsker å være mer selvstendig.

Det gjorde jeg i går og i teorien trodde jeg at $ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = 36 (e^{4 \pi i} )
$

Jeg gjorde det samme som deg her. Men når jeg tok kontroll (og jeg prøvde nettopp igjen), så får jeg 36 til venstre for likhetstegnet, men når jeg multipliserer ut uttrykket til høyre får jeg svaret: 36-7,2E-12i.

Har du gjort noe feil her eller er det jeg som misforstår et eller annet?

Hvis du bruker at $e^{i\pi} = -1$ på høyre side, så vil du nok bare få 36.