Trigonometri

[Eple]

sin v = 12/13, bestem sin (v/2)

Denne klarte jeg ikke. Har fasit, men skjønner ikke bæret av den. Man skal tydeligvis starte med å skrive

2 sin[sup]2[/sup](v/2) = 1 - cos v

Da er det jo ganske enkelt å regne ut, men hvordan i all verden skal man klare å komme fram til dette selv? Finner ingenting i formelsamlingen som ser ut til å passe.

[Eple]

Ingen som vet?

[Solar Plexsus]

En velkjent(?) trigonometrisk formel uttrykker at

(1) cos(2x) = cos[sup]2[/sup]x - sin[sup]2[/sup]x.

Nå er cos[sup]2[/sup]x + sin[sup]2[/sup]x = 1, så cos[sup]2[/sup]x = 1 - sin[sup]2[/sup]x. Innsatt i (1) gir dette

cos(2x) = 1 - 2sin[sup]2[/sup]x

(2) 2sin[sup]2[/sup]x = 1 - cos(2x)

Ved å sette x = v/2 i (2), blir resultatet

(3) 2sin[sup]2[/sup](v/2) = 1 - cos v

Nå er

cos[sup]2[/sup]v = 1 - sin[sup]2[/sup]v = 1 - (12/13)[sup]2[/sup] = (13[sup]2[/sup] - 12[sup]2[/sup]) / 13[sup]2[/sup] = (169 - 144) / 13[sup]2[/sup] = (5/13)[sup]2[/sup].

Altså blir

cos v = +/- 5/13.

Innsatt i (3) gir dette

2sin[sup]2[/sup](v/2) = 1 - cos v = 1 -/+ (5/13) = 8/13 eller 18/13

(4) sin[sup]2[/sup](v/2) = 4/13 eller 9/13.

Siden sin v = 12/13>0, må v(0,[pi][/pi]) (Regner her med at v[0,2[pi][/pi])). Ergo vil v/2(0,[pi][/pi]/2), så sin(v/2)>0. Dermed følger det av (4) at

sin v = 2/[rot][/rot]13 ( v(0,[pi][/pi]) ) eller

sin v = 3/[rot][/rot]13 ( v([pi][/pi],2[pi][/pi]) ).

[Eple]

Tusen takk! Da skjønte jeg jo alt sammen. Utrolig dårlig fasit forresten