Sum av sinus og cosinus

[fengen]

Hei kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Løs likningen

[rot][/rot]3sin2x-cos2x=[rot][/rot]2

ved regninig når x E[0,[pi][/pi]]

[Andrina]

Du deler først ligningen med 2:

[rot][/rot]3 /2*sin(2x)-1/2*cos(2x)=[rot][/rot]2 /2

Poenget her er at du deler sånn at punktet ([rot][/rot]3 /2, -1/2) ligger på enhetssirkelen.

Nå søker du vinkelen a slik at cos(a)=[rot][/rot]3 /2 og sin(a)=-1/2

Du finner a=-pi/6 + 2*pi*n (n helt tall)

Siden cos(a) er positiv og sin(a) er negativ, ligger a i fjerde kvadranten i koordinatsystemet. Vi får da a=-pi/6+2*pi=11*pi/6

Nå kan vi skrive ligningen som cos(11*pi/6)*sin(2x)+sin(11*pi/6)*cos(2x)= [rot][/rot]2 /2= 1/[rot][/rot]2

Dette kan vi forenkle (siden sin(c+d)=sin(c)cos(d)+sin(d)cos(c)):

sin(2x+11*pi/6)=1/[rot][/rot]2

Vi finner 2x+11*pi/6=pi/4+2*pi*n (n helt tall)
altså 2x=-19*pi/12+2*pi*n
x=-19/24*pi+pi*n

Siden x skal være i [0,pi] har vi x=-19/24*pi+pi=5/24*pi

(du kan sette dette inn i utgangsligningen for å sjekke)


[rot][/rot][pi][/pi]

[fengen]

hei. tusen takk for svaret... problemet er at i fasiten i boken min står det at svaret er 5[pi][/pi]/24 eller 11[pi][/pi]/24[pi][/pi]

[Andrina]

øhmmm, min feil selvfølgelig har sin(2x+11*pi/6)=1/[rot][/rot]2 to svar
(det kan du se ved å se på enhetssirkelen for eksempel).
Den andre er 2x+11*pi/6=(pi-pi/4)+2*pi*n
altså 2x=-13/12*pi+2*pi*n
x=-13/24*pi+pi*n
altså x=-13/24*pi+pi=11/24*pi