Diff.ligning (y^2)'

[Grautus]

Oppgave fra Aschehoug: Kap 6, Oppgavesamling, oppg. 671:
a) Forklar at den deriverte av y^2 med hensyn på x er 2yy'.

Bruk blant annet resultatet i oppgave a til å løse differensiallikningene i oppgave b og c.
b) [tex]\mathrm{e}^x \times (y^2)' = x[/tex]
c) [tex]2xyy' + y^2 = 12x^2[/tex]

Det viser seg at [tex](y^2)' = 2yy'[/tex] kan utledes med kjerneregel:
[tex]f(x)'= g(u)' \times u' \\ (y^2)'=(u^2)' \times u' = 2y \times y'[/tex]
Er dette en gyldig utledning?

b) [tex]e^x \times 2yy'=x \\ 2yy'=x/e^x \\ \int 2y \mathrm{d}y = \int \frac{x}{e^x} \mathrm{d}x \\ y^2 + C_1 = -xe^{-x} - e^{-x} + C_2 \\ y^2 = e^{-x} (-x-1) + C[/tex]
der [tex]C=C_1+C_2[/tex]
[tex]y=\sqrt{e^{-x} \times (-x-1) + C}[/tex] Stemmer dette?

Samme prosedyre i c-oppgaven?

[Janhaa]

ja, evt

[tex]y=\pm \sqrt{-e^{-x} *(x+1) + C}[/tex]