Integrasjon: Subst., delvis!

[Gjest]

Hey! Sliter litt med noen integrasjonsoppgaver som jeg ikke syns er helt enkle Hvis noen hadde orket å ta seg tid til å hjelpe meg hadde jeg satt utrolig stor pris på d

a) [itgl][/itgl] (lnx)/([rot][/rot]4) dx <= Bestemt integral fra 1 til 4.

b) [itgl][/itgl](lnx)^2 dx <= Bestemt integral fra 1 til e


Ha en fortsatt fin dag !

[Solar Plexsus]

I begge oppgavene kan vi bruke delvis integrasjon, dvs. regelen

(1) [itgl][/itgl]u'v dx = uv - [itgl][/itgl]uv' dx.

a) Ved å velge u'=1 og v=ln(x), får vi at u=x og v'=1/x. Altså blir uv = x ln(x) og uv' = 1, som innsatt i (1) gir

(2) [itgl][/itgl]ln(x) dx = x ln(x) - [itgl][/itgl]dx = x( ln(x) - 1 ) + C[sub]1[/sub].

Herav følger at

[itgl][/itgl]( ln(x) / [rot][/rot]4) dx med 1 og 4 som hhv. nedre og øvre grense

= (1/2)[4(ln(4) - 1) - (ln(1) - 1)] = 4 ln(2) - (3/2).



b) La u' = v = ln(x). Dette medfører at u=x(ln(x) - 1) (fra (2)) og v'=1/x. Ergo blir
uv = x ln(x) (ln(x) - 1) og uv' = ln(x) - 1, som innsatt i (1) gir

[itgl][/itgl] (ln(x))[sup]2[/sup] dx = x ln(x) (ln(x) - 1) - [itgl][/itgl] ln(x) - 1 dx

= x ln(x) (ln(x) - 1) - x (ln(x) - 1) + x + C[sub]2[/sub]

= x( (ln(x))[sup]2[/sup] - 2 ln(x) + 2 ) + C[sub]2[/sub].

Dermed får vi at

[itgl][/itgl] (ln(x))[sup]2[/sup] dx med 1 og e som hhv. nedre øg øvre grense

= e( (ln(e))[sup]2[/sup] - 2 ln(e) + 2 ) - ( ln(1))[sup]2[/sup] - 2 ln(1) + 2 )

= e - 2.