Derivasjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
Hvordan regner man ut at når f(x)=sinx så er f'(x)=cos, jeg får ikke til å beregne det ved hjelp av grenseverdien?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Bruker du definisjonen av den deriverte i et punkt, får du at
(sin(x))' = lim_(a -> 0) [(sin(x + a) - sin(x)) / a]
= lim_(a -> 0) [(sin(x) cos(a) + cos(x) sin(a) - sin(x)) / a]
= sin(x) lim_(a -> 0) (cos(a) - 1) / a + cos(x) lim_(a -> 0) sin(a) / a.
Nå er
cos(a) - 1 / a = (cos(a) - 1)(cos(a) + 1) / (a(cos(a) + 1) = (cos[sup]2[/sup]a - 1) / (a(cos(a) + 1) = -sin[sup]2[/sup]a / (a(cos(a) + 1) = (sin(a) / a) (-sin(a) / (cos(a) + 1).
Her er
lim_(a -> 0) sin(a) / (cos (a) + 1) = sin(0) / (cos(0) + 1) = 0/(1 + 1) = 0/2 = 0.
Kan vi så til slutt bevise at lim_(a -> 0) sin(a) / a = 1 (som kan gjøres vha. av en arealbetraktning. NB! L' Hopitals regel kan selvfølgelig ikke anvendes!), blir konklusjonen at
(sin x)' = cos x.
(sin(x))' = lim_(a -> 0) [(sin(x + a) - sin(x)) / a]
= lim_(a -> 0) [(sin(x) cos(a) + cos(x) sin(a) - sin(x)) / a]
= sin(x) lim_(a -> 0) (cos(a) - 1) / a + cos(x) lim_(a -> 0) sin(a) / a.
Nå er
cos(a) - 1 / a = (cos(a) - 1)(cos(a) + 1) / (a(cos(a) + 1) = (cos[sup]2[/sup]a - 1) / (a(cos(a) + 1) = -sin[sup]2[/sup]a / (a(cos(a) + 1) = (sin(a) / a) (-sin(a) / (cos(a) + 1).
Her er
lim_(a -> 0) sin(a) / (cos (a) + 1) = sin(0) / (cos(0) + 1) = 0/(1 + 1) = 0/2 = 0.
Kan vi så til slutt bevise at lim_(a -> 0) sin(a) / a = 1 (som kan gjøres vha. av en arealbetraktning. NB! L' Hopitals regel kan selvfølgelig ikke anvendes!), blir konklusjonen at
(sin x)' = cos x.
-
Gjest
Eit alternativ er å nytta e^(ix) = cos x + i sin x. Me har då [e^(ix)]' = i e^(ix) = i cos x - sin x, så [cos x]' = -sin x og [sin x]' = cos x. Strengt tatt ikkje noko bevis slik det står her, men fint likevel.
Så over til ein meir skikkeleg metode: Teikn opp ein sirkel med radius 1 og merk av ein liten vinkel med storleik a (målt i radianar). Me får no ein sektor med spiss O og hjørne A og B. Teikn normalen frå A på OB; fotpunktet er S. (Dvs. at OSA er ein rett vinkel.) Teikn vidare ein tangent til sirkelen i A; denne skjerer OB i T. Me merker oss at AS = sin a, AB = a og AT = tan a = sin a/cos a > sin a. OT = 1/cos a.
Me merkar oss at arealet avgrensa av OSA er mindre enn arealet avgrensa av OBA, som igjen er mindre enn arealet avgrensa av OTA. Me har altså: (cos a * sin a)/2 < a/2[pi][/pi] * [pi][/pi] < (tan a)/2 = sin a/(2 cos a), altså cos a * sin a < a < sin a / cos a. Me gongar med cos a / a og får (cos a)^2 (sin a)/a < cos a < sin a/a
Ei omskriving gjev cos a < (sin a)/a < 1/cos a. Når a ---> 0, så går venstresida mot 1 og høgresida mot 1, så ved skviseteoremet (det formelle namnet på noko du godt kan rekna som opplagt) må midten også gå mot 1.
Så over til ein meir skikkeleg metode: Teikn opp ein sirkel med radius 1 og merk av ein liten vinkel med storleik a (målt i radianar). Me får no ein sektor med spiss O og hjørne A og B. Teikn normalen frå A på OB; fotpunktet er S. (Dvs. at OSA er ein rett vinkel.) Teikn vidare ein tangent til sirkelen i A; denne skjerer OB i T. Me merker oss at AS = sin a, AB = a og AT = tan a = sin a/cos a > sin a. OT = 1/cos a.
Me merkar oss at arealet avgrensa av OSA er mindre enn arealet avgrensa av OBA, som igjen er mindre enn arealet avgrensa av OTA. Me har altså: (cos a * sin a)/2 < a/2[pi][/pi] * [pi][/pi] < (tan a)/2 = sin a/(2 cos a), altså cos a * sin a < a < sin a / cos a. Me gongar med cos a / a og får (cos a)^2 (sin a)/a < cos a < sin a/a
Ei omskriving gjev cos a < (sin a)/a < 1/cos a. Når a ---> 0, så går venstresida mot 1 og høgresida mot 1, så ved skviseteoremet (det formelle namnet på noko du godt kan rekna som opplagt) må midten også gå mot 1.