matematikk.net

Heisann!
Prøver å lære meg integrasjon.

Jobber med denne: [tex]\int \frac{tanx}{cos^{2}x}dx[/tex]

Vet ikke helt hvordan jeg skal løse den, og har spurt både WolframAlpha og Symbolab.
Men begge løser med noe som kalles "sec", som jeg ikke skjønner meg på.
Er det noe som er vanlig i bruk her i landet, som jeg bør lære meg?
Hadde også satt pris på et tips til hva jeg skal kalle for u!

Er vel ikke vanskeligere enn å trykke på sec for å se defininsjonen av den i wolfram, eller bare
gjøre et raskt søk på google? Uansett så er $\sec(x) = 1/\cos(x)$. Så ikke spesielt vanskelig altså, men
den blir lite brukt på videregående om jeg husker rett. Bruk definisjonen av $\tan x$, og deretter
kan du prøve med $u = \sin x$ eller $u = \cos x$, hva skjer?

Nei, du har jo rett i det!
Tenkte bare at det kanskje var en metode som ikke ble brukt her i landet.

Har kommet frem til at jeg har [tex]\int \frac{sinx}{cos^3x}[/tex].

Forstår ikke hva som skjer i avslutningen når svaret blir [tex]\frac{1}{2}tan^2x+C[/tex]...

Hvordan ser overgangen ut da? Jeg ser ikke det du ser...

Den ser slik ut:

[tex]\frac{tanx}{cos^2x}dx[/tex]

[tex]\frac{\frac{sinx}{cosx}}{cos^2x}dx[/tex] . Så ganget jeg ut den delte brøken og fikk

[tex]\int \frac{sinx}{cos^3x}[/tex]

Kanskje jeg er på jordet?

Dette ser riktig ut, hva skjer så?

Har lyst til å spørre om det samme!

Jeg må vel erstatte en av dem med u. Har prøvd med sinus, da blir du=cos xdx.
Ender opp med noe sånt som [tex]\int \frac{u}{du^3}[/tex], og er temmelig sikker på at det må være feil!
Skjønner at forståelsen for dette ikke er helt på plass enda.

Anbefaler deg å se et par av videoene til alex om substitusjon. La $u = \cos x$, da er $u' =- \sin x$ eller med andre ord $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\sin x$ ganger
vi får en $-\mathrm{d}u = \sin x\,\mathrm{d}x $ og da kan vi bli kvitt $\mathrm{d}x$ uttrykket vårt i integralet.

$ \hspace{1cm}
\int \frac{\sin x\,\mathrm{d}x}{(\cos x)^3} = \int \frac{- \mathrm{d}u}{u^3} = \frac{1}{2u^2} + C
$

For å få svaret du vil ha, kan du vise at $1 + (\tan x)^2 = 1/(\cos x)^2 = (\sec x)^2$. Du kan jo sette inn å¨se om du finner ut hvor konstanten blir av =)

Tusen takk for hjelpa

Skjønte ikke helt overgangen din til 1/2u^2, men skal se på videoene, - håper jeg kan forstå mer da!

[tex]\int\frac{-\mathrm{d}u}{u^3} = -\int u^{-3}\mathrm{d}u = -\frac{1}{-3+1}\cdot u^{-3+1}+C = \frac{1}{2}u^{-2}+C = \frac{1}{2u^2}+C[/tex]