GCD-polynomer
Lagt inn: 10/09-2015 20:06
Okei, skal finne alle par av heltall $(x,y)$ som tilfredsstiller $y^3+5=x(y^2+2)$. Jeg delte begge sider på $y^2+2\not=0$, slik at jeg må finne alle $y$ slik at $\frac{y^3+5}{y^2+2}\in\mathbb{Z}$.^For at dette skal være tilfelle må $(y^3+5,y^2+2)=y^2+2$. Jeg brukte den Euklidske algoritmen, men dette gir tydeligvis ikke riktig svar. Hva gjør jeg feil her?
$y^3+5=y(y^2+2)+(-2y+5)$
Siden $2\not\mid2y-5$, så er $(y^2+2,2y-5)=(2y^2+4,2y-5)$:
$2y^2+4=y(2y-5)+(5y+4)$
Igjen, siden $2\not\mid2y-5$, er $(5y+4,2y-5)=(10y+8,2y-5)$:
$10y+8=5(2y-5)+(32)$.
Altså $(y^3+5,y^2+2)\mid32$ som sammen med $y^2+2\geq 2$ impliserer at $y^2+2=2,4,8,16,32\Leftrightarrow y^2=0,2,6,14,30$, hvor kun den første er mulig. Men, dette stemmer ikke, da kun $y=1$ og $y=-3$ er løsninger.
$y^3+5=y(y^2+2)+(-2y+5)$
Siden $2\not\mid2y-5$, så er $(y^2+2,2y-5)=(2y^2+4,2y-5)$:
$2y^2+4=y(2y-5)+(5y+4)$
Igjen, siden $2\not\mid2y-5$, er $(5y+4,2y-5)=(10y+8,2y-5)$:
$10y+8=5(2y-5)+(32)$.
Altså $(y^3+5,y^2+2)\mid32$ som sammen med $y^2+2\geq 2$ impliserer at $y^2+2=2,4,8,16,32\Leftrightarrow y^2=0,2,6,14,30$, hvor kun den første er mulig. Men, dette stemmer ikke, da kun $y=1$ og $y=-3$ er løsninger.