Hvordan beviser/motbeviser jeg at:
1) Det gjelder for alle partall a at 4 går opp i a² (uten rest)
2) For alle n ∈ N er 5 faktor av produktet (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
På spørsmål 2 er det så absolutt enklest å tenke logisk som har blitt skrevet.
Men, det går an å vise rent mattematisk ved hjelp av induksjonsprinsippet.
[tex]P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)[/tex]
1: Vis at [tex]P(1)[/tex] tilfredstiller kriteriet.
[tex]P(1)=2\cdot3\cdot4\cdot5=5\cdot m[/tex]
2: Gå utifra at [tex]P(n)[/tex] tilfredstiller kriteriet: [tex]P(n)=5\cdot m[/tex]
Og prøv å bevis at [tex]P(n+1)=5 \cdot l[/tex]
Noterer at [tex]P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=n^4+10n^3+35n^2+50n+24[/tex]
[tex]P(n+1)=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=n^4+14n^3+71n^2+154n+120 \\
P(n+1)=n^4n^3+35n^2+50n+24+4n^3+36n^2+104n+96\\
P(n+1)=P(n)+4(n^3+9n^2+26n+24)[/tex]
Her kan vi prøve å faktorisere andre ledd mer. Vi må først finne en rot, ser att 0 ikke er en rot, så la oss prøve med -1.
[tex]-1^3-9^2-26+24\neq 0[/tex]
La oss prøve -2.
[tex](-2)^3+(9\cdot (-2))^2+26\cdot(-2)+24 = 0[/tex]
Da har vi funnet ut at -2 er en rot så er det enkelt å finne de andre røttene siden n+2 må være en faktor.
Først la oss finne annengradsuttrykket som vi kan jobbe videre med.
[tex]n^3+9n^2+26n+24:n+2=n^2+7n+12\\ \underline{n^3+2n^2}\\ 7n^2+26n\\ \underline{7n^2+14n}\\ 12n+24\\ 12n+24[/tex]
Nå kan vi finne de resterende røttene.
[tex]n^2+7n+12=0\\ n=-3 \vee n=-4\\ n^2+7n+12=(n+3)(n+4)[/tex]
Så tilbake til vår [tex]P(n+1)[/tex]
P(n+1)=P(n)+4(n^3+9n^2+26n+24)\\
P(n+1)=5\cdot m+4(n+2)(n+3)(n+4)[/tex]
Som vi ser er ikke 5 en felles faktor for alle n. Hadde vi gjort regnestykket omigjen med tallet 4, kunne vi sett at dette var tilfellet.