Parameterfremstilling for skjæringslinje mellom plan

[stimorolextra]

Finn en parameterfremstilling for skjæringslinjen mellom planet a=x+3y-6z+1=0 og zy-planet. Regner med at xy-planet har retningsvektor [0,0,1]
Jeg tror det første jeg må gjøre er å finne en retningsvektor for linjen (fordi den nye retningsvektoren må være parallell med med begge planene, dvs. stå normalt på normalvektorene til planene) I hvert fall tar jeg [1,3,-6]x[0,0,1] og får ut en normalvektor som er [3,-1,0]

Og så må jeg finne et punkt på linjen (skjæringspunktet mellom planene eller?) Skjønner ikke hvordan jeg skal gjøre det..

[stimorolextra]

EDIT: Skulle stå xy-planet!!

[a100_sausages]

Hei!

For å finne et punkt på linjen, må du rett og slett finne et punkt [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] som ligger i begge planene, dvs. som oppfyller begge planlikningene (likningen for [tex]xy[/tex]-planet er bare [tex]z=0[/tex]).

Dette gir:

[tex]x_1+3y_1-6z_1+1=0[/tex]
[tex]z_1=0[/tex]

Én løsning av disse likningene er punktet [tex](-1,0,0)[/tex]. Du har nå både retningsvektoren til linjen og ett punkt på linjen, og da er det bare å parameterisere på vanlig måte.

Hvis du ønsker å finne krysningslinjen [tex]\vec{r}(t)=(x,y,z)[/tex] uten å måtte regne ut kryssprodukt i fremtiden, kunne du satt inn [tex]z=0[/tex] i den øverste likningen, hvilket gir [tex]x=-1-3y[/tex].

Da har du:
[tex]x = -1-3y[/tex]
[tex]y=y[/tex]
[tex]z=0[/tex]

På vektorform kan dette skrives som

[tex](x,y,z) = (-1-3y,y,0)[/tex]

Ved å sette [tex]y=t[/tex] har du parameteriseringen

[tex]\vec{r}(t)=(-1-3t,t,0)[/tex]

(jeg har tilfeldigvis motsatte fortegn av din retningsvektor, hvilket ikke har noen betydning)