Minst mulig areal av sirkel og kvadrat

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Minst mulig areal av sirkel og kvadrat

Innlegg ElinS » 10/02-2016 13:54

Hei

Noen som kan hjelpe meg med følgende oppgave:

En ståltråd på 100 cm skal deles opp i to biter. Den ene biten skal bøyes til en sirkel og den andre til et kvadrat så en måte slik at arealet blir minst mulig.

Jeg har jobbet med oppgaven i Excel hvor jeg har kommet frem til at den skal deles ca. ved 44 og 56 cm, hvor sirkelen skal ha en omkrets på ca. 44 cm og kvadratet ca. 56. Mulig dette heller ikke er riktig.


Spørsmålet mitt er:

1. Hvordan kan jeg utlede et funksjonsuttrykk av det samlede arealet av sirkelen og kvadratet for å kunne klippe ståltråden på eksaktrett sted slik at arealet blir minst mulig?

Blir veldig takknemlig for hjelp.
ElinS offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 10/02-2016 13:01

Re: Minst mulig areal av sirkel og kvadrat

Innlegg madfro » 10/02-2016 14:02

Hei,

Start med å del opp linjestykket [tex]L = 100 cm[/tex] i to deler [tex]K[/tex] og [tex]S[/tex].
Der [tex]K[/tex] er omkretsen av et kvadrat og [tex]S[/tex] er omkretsen av sirkelen.

Du får da først likningen
[tex]K + S = L[/tex]

Du kan da finne arealet av kvadratet og sirkelen ved å gå bakover fra omkretsene.

Da kan du sette opp en likning for det totale arealet som ser slik ut.

[tex]A = \frac{K^2}{4^2} + \frac{1}{4\pi}S[/tex].

Bruk den første likningen til å lage en likning som bare har en ukjent (S eller K), så kan du finne bunnpunkt ved derivasjon, og dermed også punktet man må kutte for å få minst mulig areal.
madfro offline

Re: Minst mulig areal av sirkel og kvadrat

Innlegg madfro » 10/02-2016 14:03

madfro skrev:Hei,

Start med å del opp linjestykket [tex]L = 100 cm[/tex] i to deler [tex]K[/tex] og [tex]S[/tex].
Der [tex]K[/tex] er omkretsen av et kvadrat og [tex]S[/tex] er omkretsen av sirkelen.

Du får da først likningen
[tex]K + S = L[/tex]

Du kan da finne arealet av kvadratet og sirkelen ved å gå bakover fra omkretsene.

Da kan du sette opp en likning for det totale arealet som ser slik ut.

[tex]A = \frac{K^2}{4^2} + \frac{1}{4\pi}S^2[/tex].

Bruk den første likningen til å lage en likning som bare har en ukjent (S eller K), så kan du finne bunnpunkt ved derivasjon, og dermed også punktet man må kutte for å få minst mulig areal.


Edit, det skal stå [tex]S^2[/tex] i den siste likningen.
madfro offline

Re: Minst mulig areal av sirkel og kvadrat

Innlegg ElinS » 10/02-2016 17:26

Tusen takk!
ElinS offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 10/02-2016 13:01

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 50 gjester