Rasjonal funksjon, asymptoter

[Gjest9]

Gitt funksjonen( e^x)/(x) så regnes x som høyere grad enn e^x, og man får horisontal asymptote for y=0

Hvorfor blir det slik? Hvordan bestemmer man hva som skal regnes av høyere grad i eksempler der det ikke er så opplagt?

[Stringselings]

Er den forklaringen tatt fra boka? Jeg syntes det var en dårlig forklaring..
[tex]f(x)=\frac{e^x}{x}[/tex]
Får å finne horisontale asymptoter må du se hva som skjer med [tex]f(x)[/tex] når [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)[/tex] og [tex]\lim_{x\to - \infty}f(x)[/tex].
Når [tex]x[/tex] blir veldig stor blir [tex]f(x)[/tex] også veldig stor og går aldri mot en bestemt verdi. (ingen asymptote)
Men når [tex]x[/tex] er et veldig stort negativt tall vil [tex]e^x[/tex] gå mot null slik at [tex]f(x)[/tex] også går mot null.
Dermed for du en asymptote [tex]y=0[/tex]. Grafen vil gå nærmere og nærmere [tex]y=0[/tex] når du går langs de negative x verdiene.
Tegn grafen i geogebra om det var litt uklart.

[zell]

Her kan man også bruke L'Hopitals regel til å evaluere grenseverdien.

[tex]\lim_{x\to\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = \frac{\infty}{\infty} \ \Rightarrow \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^x}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x} = \lim_{x\to\infty}\mathrm{e}^x = \infty[/tex]

[tex]\lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\mathrm{e}^x} = 0[/tex]