Derivering av tangens

[Gjest]

Er det noen her som kan gi meg et hint ang. hvordan man regner ut hva det deriverte til tan x er? Jeg kommer ikke lenger enn til å bruke regelen for tan(a+b)..

[Solar Plexsus]

Du trenger ikke bruke formelen for tan(a + b). Vanligvis gjøres dette ved å det faktum at tan(x) = sin(x)/cos(x). Dermed får vi at

[tan(x)]' = [sin(x)/cos(x)]' = [ (sin(x))'*cos(x) - sin(x)*(cos(x))' ] / cos[sup]2[/sup](x)
= [ cos(x)*cos(x) - sin(x)*(-sin(x)) ] / cos[sup]2[/sup](x) = [ cos[sup]2[/sup](x) + sin[sup]2[/sup](x) ] / cos[sup]2[/sup](x) = 1/cos[sup]2[/sup](x).

[Gjest]

Ja, men litt av poenget var også å lære diverse triks som kan brukes både til å regne ut grenseverdier, og generelt om trigonometri. I følge formelsamlingen er den deriverte du kom fram til bare en av to mulige, hva kommer dette av? 1=sin[sup]2[/sup]x+cos[sup]2[/sup]x?

[Solar Plexsus]

Nå er

tan(x + Δx) - tan(x)
= [ (tan(x) + tan(Δx)) / (1 - tan(x)tan(Δx)) ] - tan x
= [ tan(x) + tan(Δx) - tan(x) + tan[sup]2[/sup](x)tan(Δx) ] / [ 1 - tan(x)tan(Δx) ]
= tan(Δx)[ 1 + tan[sup]2[/sup](x) ] / [ 1 - tan(x)tan(Δx) ]
= tan(Δx) / [ cos[sup]2[/sup](x) (1 - tan(x)tan(Δx)) ] (deler med tan(Δx) i teller og nevner)
= [ cos[sup]2[/sup](x) ((1/tan(Δx)) - tan(x)) ][sup]-1[/sup]

fordi

1 + tan[sup]2[/sup](x) = 1 + (sin[sup]2[/sup](x) / cos[sup]2[/sup](x)) = (cos[sup]2[/sup](x) + sin[sup]2[/sup](x)) / cos[sup]2[/sup](x) = 1/cos[sup]2[/sup](x).

Ifølge definisjonen av den deriverte blir

(1) [tan(x)]'
= lim [sub]Δx->0[/sub] [ tan(x + Δx) - tan(x) ] / Δx
= lim [sub]Δx->0[/sub] (1/cos[sup]2[/sup](x)) [ (Δx/tan(Δx)) - Δxtan(x) ]
= (1/cos[sup]2[/sup](x)) [ lim[sub]Δx->0[/sub] Δx/tan(Δx)]

ettersom lim[sub]Δx->0[/sub] Δxtan(x) = 0*tan(x) = 0. Videre er

Δx/tan(Δx) = Δxcos(Δx)/sin(Δx) = cos(Δx) / (sin(Δx)/Δx) -> cos(0) / 1 = 1/1 = 1 når Δx->0

i.o.m. at lim[sub]Δx->0[/sub] sin(Δx)/Δx = 1. Dermed følger det av (1) at

[tan(x)]' = 1/cos[sup]2[/sup](x).

Du skriver at ifølge formelsamlingen din har tangensfunksjonen en derivert i tillegg til 1/cos[sup]x[/sup](x). Jeg går ut fra at det står at (tan(x))' ikke er definert i punktene x = (n + (1/2))[pi][/pi] der n er et heltall (dvs. for de verdier av x som er slik at cos(x) = 0). Dersom dette ikke er tilfellet, vil jeg gjerne vite hva formelsamlingen din angir som den andre deriverte av tan(x).

[Gjest]

Det var ikke verre enn at de har oppført den identiteten du visste midtveis i resonnementet ditt, dvs. 1/cos[sup]2[/sup]x=tan[sup]2[/sup]x + 1.
Takk for raskt og forståelig svar.

Nå har jeg imidlertid kommet over et problem jeg er rimelig sikker på at ligger langt over mitt nivå, men hvorfor kan ikke x[sup]x[/sup] integreres?