matematikk.net

Hei!

Holder på med en oppgave som omhandler en sinusfunksjon som viser badetemperaturer gjennom en måned, og sliter med følgende deloppgave:

Når var temperaturen 22,5 °C?

Temperaturen T etter x dager er gitt ved følgende funksjon:

[tex]T(x)=20+5 sin (\frac{\pi }{15}x-\frac{\pi}{10})[/tex]

Jeg skjønner at jeg skal sette T(x)=22,5, men kommer ikke så langt. Her er utregningen min så langt:

[tex]T(x)=22,5[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi}{15}x-\frac{\pi}{10})=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}[/tex]

Så vet jeg ikke helt hvordan jeg skal gå videre. Jeg har tegnet grafen og ser at svaret blir lik

[tex]x=6 \vee x=14[/tex]

men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal komme frem til dette ved regning.

Tusen takk på forhånd for all hjelp!

Prøv og studer enhetssirkelen





En kan tenke seg at $\sin x$ til vinkelen er $y$-koordinaten. Så du lurer på når $\sin x = 1/2$. Vel når vi når punktet $(0,1)$ så har vi beveget oss 90 grader. Så fra figur så er $\sin x = 1/2$ når x = 45 grader. Men mellom (0,1) og (-1,0) finner vi også 45 grader. Mao to løsninger når vi tar en rotasjon omkring enhetssirkelen.

Prøv å se et par videoer om enhetssirkelen (regner med det ligger noen på UDL.no) så blir nok dette mer klart. Alternativt om du ikke har lyst å lære noenting så kan en skrive sinusinvers på kalkulatoren. Eg $\sin^{-1}(1/2)$ eller $\arcsin(1/2)$, men her får en bare en løsning og må legge på 90 grader for å få den andre løsningen.

Satser på du klarer å gjøre det om til radianer. Troor fortsatt grader var mest vanlig på VGS. EDIT: Ser du vil ha det i radianer. 45 grader er det samme som $2\pi/8 = \pi/4$ radianer. Så 135 grader = $\pi + \pi/4$ radianer.

Nebuchadnezzar skrev:Prøv og studer enhetssirkelen





En kan tenke seg at $\sin x$ til vinkelen er $y$-koordinaten. Så du lurer på når $\sin x = 1/2$. Vel når vi når punktet $(0,1)$ så har vi beveget oss 90 grader. Så fra figur så er $\sin x = 1/2$ når x = 45 grader. Men mellom (0,1) og (-1,0) finner vi også 45 grader. Mao to løsninger når vi tar en rotasjon omkring enhetssirkelen.

Prøv å se et par videoer om enhetssirkelen (regner med det ligger noen på UDL.no) så blir nok dette mer klart. Alternativt om du ikke har lyst å lære noenting så kan en skrive sinusinvers på kalkulatoren. Eg $\sin^{-1}(1/2)$ eller $\arcsin(1/2)$, men her får en bare en løsning og må legge på 90 grader for å få den andre løsningen.

Satser på du klarer å gjøre det om til radianer. Troor fortsatt grader var mest vanlig på VGS. EDIT: Ser du vil ha det i radianer. 45 grader er det samme som $2\pi/8 = \pi/4$ radianer. Så 135 grader = $\pi + \pi/4$ radianer.

Kjenner godt til enhetssirkelen, og hvis uttrykket bare hadde vært $ \sin x = \frac{1}{2} $ hadde det ikke vært noe problem. (Tror forøvrig du blander litt, $\sin^{-1} (\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $, eller 30 grader),
men uttrykket er $ \sin (\frac{\pi}{15}x-\frac{\pi}{10})=\frac{1}{2} $

Får det ikke helt til å stemme hvis jeg regner ut $\frac{\pi}{15}x-\frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{6} $ heller, da får jeg $ x=4$, og det stemmer jo heller ikke?

Oppdatering: Glem det, tenkte feil! $ x = 4 $ er en gyldig løsning!

Skriver ut resten av utregnigen min her om andre skulle havne på samme oppgave:

Siden $ \sin = \frac{1}{2} $ og definisjonsmengden av $ T(x) $ er én periode, gir enhetssirkelen to løsninger. Den andre finnes ved å ta $ -\frac{\pi}{6}+\pi = \frac{5\pi}{6} $

Deretter er det bare å regne ut når $ \frac{\pi}{15}x-\frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{6} $ , altså for $ x=14 $, og vi har to x-verdier: $ x=4 \vee x=14 $

Takk til Nebuchadnezzar som satte meg på sporet av hvor jeg tenkte feil!