matematikk.net

Hei,

Jeg tar R2 som privatist og lurer på følgende oppgave relatert difflikinger.

Jeg forstår ikke hvordan volum regnes ut. Er det noen som kan gi meg noen hint eller ledetråder? Kanskje jeg har oversett noe vesentlig.

Oppgave 7.43 fra Sinus (2015):

Ei 4 dm høy kjegle rommer 10 L vann. Kjegla står med spissen ned. Vi stikker et lite hull i spissen slikt at vannet renner sakte ut. Etter 31 minutter er vannhøyden 1 dm. La [tex]y[/tex] være vannhøyden [tex]t[/tex] minutter etter at vi stakk hull i kjegla. Vekstfarten til [tex]y[/tex] er gitt ved:1

[tex]y^2 \cdot y' = -k \cdot \sqrt{y}[/tex]

Det gikk fint å finne et uttrykk for vannhøyden:

[tex]y = \sqrt[5]{(32-t)^2}[/tex]

Å finnet et uttrykk for volum [tex]dm^3[/tex] er vanskelig (eller ikke).

Jeg kikket i fasiten og så denne. Hvor kommer denne tanken fra?



Her henvises det til formliket:

[tex]\frac{r}{r_k}=\frac{h}{h_k} \Rightarrow r=\frac{h \cdot r_k}{4}[/tex]

Hvorfor deles det to volumer på hverandre?

[tex]\frac{V}{V_{kjegle}}= \frac{\frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}}{\frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}}[/tex]

På forhånd takk!

Bo

Kan ikke se bildet. Volumet til en kjegle er proporsjonalt med den kubiske av y, som du lett ser av formelen.
Derfor blir volumet V=ky^3 der k=10/4^3. Du har y, så fyll inn.

Håper dette holder....

Hei!

Takk for svar, nå skjønner jeg. Det blir

[tex]V=\frac{\left(\sqrt[5]{(32-t)^2}\right)^3}{4^3} \cdot V_{kjegle}[/tex]

Bo

Eller
[tex]V(t)=4^{-3}V_{k}(32-t)^{6/5}[/tex]

jess stemmer, ble litt ivring, glemte å forenkle uttrykk

[tex]V=\frac{(32-t)^{\frac{6}{5}}}{64} \cdot V_{kjegle}[/tex]

svaret er [tex]\approx 4.35 L[/tex] etter 16 minutter.