Side 1 av 1
Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 01:49
av Gjest25
Kode: Velg alt
Gitt funksjonen [tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
a) Vis at f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}*2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} =
f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Jeg får nullpunkter x=0
Fasit: (det jeg får på kalkulator)
Toppunkt:
x=0.5773502
y=0.6495190
Bunnpunkt:
x=-0.5773502
y=-0.6495190
Finn f''(x) og bestem den verdien av x der f(x) vokser fortest[/tex]
Re: Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 01:53
av Gjest
Gitt funksjonen [tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}[/tex]
a) Vis at
[tex]f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}*2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex] = [tex]\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]= [tex]f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Jeg får nullpunkter x=0
Fasit: (det jeg får på kalkulator)
Toppunkt:
x=0.5773502
y=0.6495190
Bunnpunkt:
x=-0.5773502
y=-0.6495190
Finn f''(x) og bestem den verdien av x der f(x) vokser fortest
Re: Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 02:24
av viking
Du må ha gjort noe galt med kalkulatoren.
x=0 er det eneste ekstremalpunktet, og det er et bunnpunkt. Rett fra oppgaven fordi f'(0)=0, f(0)=0, og f(x)>=0
Bruk kjerneregelen med [tex]u=x^2+1[/tex]. Gir enkel derivasjon.
f vokser fortest der f''=0.
[tex]f''(x)=\frac{2-6x^2}{(x^2+1)^3}[/tex]
Ser at x vokser raskest for [tex]x=1/\sqrt{3}[/tex]. Symmetri gir den samme negative løsning.
Sjekk dette selv da jeg ikke har gjort det, men svaret ser fornuftig ut.
Re: Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 03:04
av Gjest
Bruker du fortegnslinje?
Re: Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 05:44
av Gjest
[tex]f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2(x^{2}+1)^{2}-2x(4x(x^{2}+1)}
{(x^{2}+1)^{4}}[/tex]
Jeg sitter fast her, hva skal jeg gjøre videre?
Re: Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 08:08
av Nebuchadnezzar
Begge leddene i teller inneholder $(1+x^2)$ så denne kan du trekke ut og forkorte. Da står det bare igjen å forenkle / faktorisere teller.
Re: Funksjon Topp- og bunnpunkt
Lagt inn: 16/03-2016 08:22
av Gjest
Flott, da fikk jeg den til!
Tusen takk for hjelp Nebuchadnezzar og viking