matematikk.net

Hei!

Jeg har fått oppgitt følgende funksjon S(x):

$ S(x) = 10 000 x e^x $

Så skal jeg finne når den er lik 2000. Jeg har fått forkortet den til følgende form, men er usikker på hvordan jeg går videre:

$ ln(x) - x = ln (\frac{1}{5}) $

Noen tips?

Det er nok neppe meninga du skal finne en presis løsning her. I alle fall ikke med VGS-pensum.

Hvis det er meninga du skal gjøre det for hånd, så er numeriske metoder som Newtons Metode mer omgjengelig.

Takk for svar!

Jeg går ikke vanlig VGS, men realfagskurs (forkurs for ingeniørutdanningen), selv om pensum burde være tilsvarende. De trenger nok ikke være nøyaktige løsninger, men i fasit er svarene oppgitt med tilnærmet tallverdi med to desimaler. Newtons metode har ikke blitt benyttet i undervisningen eller gjennomgått i pensum. Kan for ordens skyld legge ut alle mellomregningene mine i tilfelle det er et sted jeg skulle gjort noe annerledes:

[tex]S(x)=2000\Rightarrow 10 000 x \times e^{-x} =2000[/tex]

[tex]\Rightarrow x \times e^{-x} = \frac{2000}{10000}=\frac{1}{5} \Rightarrow ln{(x \times e^{-x})} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]

[tex]ln{(x)}-x \times ln{(e)} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]

[tex]ln{(x)}-x= ln{(\frac{1}{5})}[/tex]

Den nøyaktige måten er å bruke Lambert-W funksjonen (står detaljert på wikipedia) I utgangspunktet så er denne funksjonen definert som løsningen av likningen $Y = X e^X$. Så $x = \text{LambertW}( Y )$. Fleste tyngre regneverktøy har i likhet med logaritmen denne funksjonen innebygget.

Alternativt kan du definere

$ \hspace{1cm}
f(x) = 2000 - 10000 x e^x
$

Og deretter bruke newtons-tilnærmingsmetode

$ \hspace{1cm}
x_{n+1} = x_{n} - \frac{ f(x_n) }{f'(x_n)}
$

Konvergerer raskt for nesten alle fornuftige startverdier. Bijeksjonsmetoden fungerer og ypperlig her, med startverdier $a = 0$ og $b = 1$.

Fikspunkt iterasjon fungerer og. Anta du har en likning $y(x) = a$, hvor a er en konstant eller en funksjon. Målet er da å skrive om denne likningen
til $x = g(x)$. Dersom du kan det, kan du skrive inn et tall på kalkulatoren. Også deretter skrive $g(\text{ans})$ og hamre løs på = knappen.

$10000 xe^x = 2000 \ \Rightarrow \ x = \frac{2000}{10000 e^x}$.

Så $g(x) = \frac{1}{5}e^{-x}$ Ved å skrive
Også Og hamre løs på = knappen vil du komme frem til riktig svar raskt.

Denne kan nok ikke løses "for hånd" med det en lærer på forkurs, så jeg vil tro at geogebra eller cas kan være til god hjelp her.

Så søtt at VGS elever tror de vil få bruke geogebra eller cas på eksamen på universitet / forkurs

Nebuchadnezzar skrev:Så søtt at VGS elever tror de vil få bruke geogebra eller cas på eksamen på universitet / forkurs

Har aldri sagt det, men når oppgaven ligger utenfor VGS pensum når det kommer til å løses ved regning, så må vi ta i bruk de hjelpemidlene vi har lov til å bruke på våres nivå til å løse den.

Tusen takk for alle svar! GeoGebra vil nok ikke være tilgjengelig på eksamen nei, men er likevel et fint verktøy for å visualisere og kontrollere eget arbeid. Spesielt takk til Nebuchadnezzar som skrev et såppass omfattende innlegg!