matematikk.net

Hei!
Jeg står helt fast på en oppgave og lurte på om noen kunne hjelpe?

En båt som veier 2 tonn, holder en konstant fart på 10 knop. Så stopper motoren plutselig. Vannet bremser da båten med en kraft som er proporsjonal med farten båten har. Proporsjonalitetskonstanten er 400 kg/s.

Vis at vi kan beskrive situasjonen med differensiallikningen v'=-v/5, der v er farten båten har ved tiden t.

Proporsjonalitetskonstanten er her gitt med enhet kg/s. Endringen av hastighet har enhet m/s^2 (akselerasjon). I første omgang vil du derfor få bort kilogramenheten. Massen til båten er 2 tonn. Vi får:

[tex]\frac{400\ \mathrm{\cancel{kg}/s}}{2000 \cancel{\mathrm{kg}}} = \frac{1}{5}\ \mathrm{1/s}[/tex]

Vannet bremser med en kraft som er proporsjonal med hastigheten. Bruker du uttrykket over får du at:

[tex]\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{5}v[/tex]

Greit nok, men vi må jo bruke fysikk her... Zell viser kun at enhetene "stemmer" her.

Newtons andre lov gir (antar at det er kun "bremsekrafta" som virker på båten i horsiontal retning, oppgaven oppgir heller ikke noe annet):

[tex]ma=-kv[/tex]

Her er [tex]a = v ' \,\,[/tex] og [tex]\,\, k = 400 kg/s \,\,[/tex] som gir:

[tex]v ' = -\frac{k}{m} \cdot v[/tex]

og som vist av zell ovenfor får vi da:

[tex]v ' = - \frac15 v[/tex]